《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例1】如图，$\angle 1=\angle 2$，$\angle 3=\angle 4$. 求证：$AD=CD$.

答案： 证明：$\because ∠1=∠2,∠3=∠4,$
$\therefore ∠BAE=∠BCE.$
在$\triangle BAE$和$\triangle BCE$中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠BCE,\\ ∠1=∠2,\\ BE=BE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BAE\cong \triangle BCE(AAS).$
$\therefore AE=CE.$
在$\triangle AED$和$\triangle CED$中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=CE,\\ ∠3=∠4,\\ ED=ED,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AED\cong \triangle CED(SAS).$
$\therefore AD=CD.$

【变式1】如图，$AB=CD$，$BC=AD$，点$E$，$F$分别是$AD$，$BC$上的一点，$AC$与$EF$相交于点$O$，$AE=CF$. 求证：$OA=OC$.

答案： 证明：在$\triangle ABC$和$\triangle CDA$中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ BC=DA,\\ AC=CA,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABC\cong \triangle CDA(SSS).$
$\therefore ∠BCA=∠DAC.$
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AOE=∠COF,\\ ∠EAO=∠FCO,\\ AE=CF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle AOE\cong \triangle COF(AAS).$
$\therefore OA=OC.$

【变式2】(人教教材P46T18)如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，点$D$是$BC$的中点，点$E$在$AD$上. 找出图中的全等三角形，并证明它们全等.

答案： 解：图中的全等三角形有$\triangle ABD$$\cong \triangle ACD,\triangle ABE\cong \triangle ACE,\triangle BDE\cong$$\triangle CDE.$
证明：
∵点 D 是 BC 的中点，
$\therefore BD=DC.$
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ AD=AD,\\ BD=DC,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD\cong \triangle ACD(SSS).$
$\therefore ∠BAE=∠CAE.$
在$\triangle ABE$和$\triangle ACE$中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AE,\\ ∠BAE=∠CAE,\\ AB=AC,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABE\cong \triangle ACE(SAS).$
$\therefore BE=CE.$
在$\triangle BDE$和$\triangle CDE$中，
$\left\{\begin{array}{l} BE=CE,\\ BD=CD,\\ DE=DE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BDE\cong \triangle CDE(SSS).$

【变式3】如图，点$A$，$E$，$F$，$C$在同一直线上，$AE=CF$，过点$E$，$F$分别作$DE\perp AC$，$BF\perp AC$，垂足分别为点$E$，$F$，且$AB=CD$，连接$BD$交于$EF$于点$G$. 求证：$EG=FG$.

答案： 证明：$\because AE=CF,$
$\therefore AE+EF=CF+EF$，即$AF=CE.$
$\because DE⊥AC,BF⊥AC,$
$\therefore ∠AFB=∠CED=90^{\circ }.$
在$Rt\triangle ABF$和$Rt\triangle CDE$中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ AF=CE,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE(HL).$
$\therefore BF=DE.$
在$\triangle DEG$和$\triangle BFG$中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠DGE=∠BGF,\\ ∠DEG=∠BFG,\\ DE=BF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle DEG\cong \triangle BFG(AAS).$
$\therefore EG=FG.$