《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、预习导学
| | 性质 | 图例 | 判定 |
| --- | --- | --- | --- |
| 文字语言 | 直角三角形的两个锐角互余. | | 有两个角互余的三角形是直角三角形. |
| 几何语言 | $\because \angle C = 90^{\circ}$，$\therefore$$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$. | | $\because$$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$，$\therefore \angle C = 90^{\circ}$. |

答案： 互余 ∠A + ∠B = 90° 互余 ∠A + ∠B = 90°

【例1】在一个直角三角形中，若一个锐角等于$75^{\circ}$，则另一个锐角的度数是(D)
A. $105^{\circ}$
B. $90^{\circ}$
C. $25^{\circ}$
D. $15^{\circ}$

答案： D

【变式1】如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，则$\angle A$的度数是( )

A. $150^{\circ}$
B. $30^{\circ}$
C. $50^{\circ}$
D. $60^{\circ}$

答案： B

【例2】(人教教材P14例3改编)如图，$AD$和$BC$相交于点$O$，且$\angle C = \angle D = 90^{\circ}$. 求证：$\angle A = \angle B$.

答案： 证明:在Rt△AOC中,∠A = 90° - ∠AOC。
在Rt△BOD中,∠B = 90° - ∠BOD。
∵∠AOC = ∠BOD,
∴∠A = ∠B。

【变式2】(人教教材P14T1改编)如图，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD \perp AB$，垂足为$D$，则$\angle 1$与$\angle A$有什么关系？为什么？

答案： 解:∠1 = ∠A。理由如下:
∵CD⊥AB,∠ACB = 90°,
∴∠BDC = 90° = ∠ACB。
∴∠1 + ∠B = 90°,∠A + ∠B = 90°。
∴∠1 = ∠A。

【例3】下列条件中，不能判断$\triangle ABC$为直角三角形的是(D)
A. $\angle C = 90^{\circ}$
B. $\angle A + \angle B = 90^{\circ}$
C. $\angle A = 20^{\circ}$，$\angle B = 70^{\circ}$
D. $\angle A = \angle B$

答案： D

【变式3】(多维原创)在下列条件中：①$\angle A + \angle B = \angle C$；②$\angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3$；③$\angle A = \angle B = \angle C$，能确定$\triangle ABC$为直角三角形的是____.(填序号)

答案： ①②

【例4】如图，$CE \perp AD$，垂足为$E$，$\angle A = \angle C$. 求证：$\triangle ABD$是直角三角形.

答案： 证明:
∵CE⊥AD,
∴∠CED = 90°。
∴∠C + ∠D = 90°。
∵∠A = ∠C,
∴∠A + ∠D = 90°。
∴∠ABD = 90°。
∴△ABD是直角三角形。

【变式4】(人教教材P14T2)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，且$\angle 1 = \angle 2$，$\triangle ADE$是直角三角形吗？为什么？

答案： 解:△ADE是直角三角形。
理由如下:
∵∠C = 90°,
∴∠A + ∠2 = 90°。
∵∠1 = ∠2,
∴∠A + ∠1 = 90°。
∴∠ADE = 90°。
∴△ADE是直角三角形。

【例5】如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\triangle ABC$的角平分线$AD$，$BE$相交于点$O$，求$\angle AOB$的度数.

答案： 解:
∵∠C = 90°,
∴∠ABC + ∠BAC = 90°。
∵AD, BE分别为∠CAB,∠ABC的角平分线,
∴∠DAB = $\frac{1}{2}$∠BAC,∠EBA = $\frac{1}{2}$∠ABC。
∴∠AOB = 180° - (∠DAB + ∠EBA)
= 180° - $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠ABC)
= 180° - 45°
= 135°。