《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、与三角形相关的阅读理解探究
阅读并填空，将三角尺($\triangle MPN$，$\angle MPN=90^{\circ}$)放置在$\triangle ABC$上(点$P$在$\triangle ABC$内)，如图1所示，三角尺的两边$PM$，$PN$恰好经过点$B$和点$C$。我们来探究：$\angle ABP$与$\angle ACP$是否存在某种数量关系。

【特例探索】（1）若$\angle A=50^{\circ}$，则$\angle PBC+\angle PCB=$______$^{\circ}$，$\angle ABP+\angle ACP=$______$^{\circ}$；
【类比探索】（2）求$\angle ABP$，$\angle ACP$，$\angle A$之间的关系，并说明理由；
【变式探索】（3）如图2，改变三角尺的位置，使点$P$在$\triangle ABC$外，三角尺的两边$PM$，$PN$仍恰好经过点$B$和点$C$，求$\angle ABP$，$\angle ACP$，$\angle A$之间的关系，并说明理由。

答案：
一、解：
(1)90 40
(2)结论：$\angle ABP+\angle ACP=90^{\circ }-\angle A$．
理由如下：$\because (\angle PBC+\angle PCB)+(\angle ABP+\angle ACP)+\angle A=180^{\circ }$，
$\therefore 90^{\circ }+(\angle ABP+\angle ACP)+\angle A=180^{\circ }$．
$\therefore \angle ABP+\angle ACP+\angle A=90^{\circ }$．
$\therefore \angle ABP+\angle ACP=90^{\circ }-\angle A$．
(3)结论：$\angle ACP-\angle ABP=90^{\circ }-\angle A$．
理由如下：如图，设$AB$交$PC$于$O$．

$\because \angle AOC=\angle POB$，
$\therefore \angle ACO+\angle A=\angle P+\angle ABP$，
即$\angle ACP+\angle A=90^{\circ }+\angle ABP$．
$\therefore \angle ACP-\angle ABP=90^{\circ }-\angle A$．