《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

1. 下列运算正确的是(B)
A. $ 3a(a - 1) = 3a^{2} - a $
B. $ a(a + 2b) = a^{2} + 2ab $
C. $ - 2(a + b) = - 2a + 2b $
D. $ a(-a + 3b) = - a^{2} - 3ab $

答案： B

数学课上，小杰发现黑板上一道题目中的一部分被擦掉了：$ - 3x(2x - ■ + 1) = - 6x^{2} + 3xy - 3x $，那么被擦掉的部分为(C)
A. $ x $
B. $ 3x $
C. $ y $
D. $ 3y $

答案： C

3. 计算：
(1)$ 2x^{2}(x - \frac{1}{2}) = $$ 2x^{3} - x^{2} $；
(2)$ (4a - b^{2})(-2b) = $$ -8ab + 2b^{3} $。

答案：
(1) $ 2x^{3} - x^{2} $
(2) $ -8ab + 2b^{3} $

4. 已知$ a(a - 2) = 8 $，则代数式$ a^{2} - 2a - 6 $的值为2。

答案： 2

5. 计算：
(1)$ (-3x)^{2}\cdot(\frac{1}{3}x - 2) $；
(2)$ 2x(x^{2} - 2x + 4) - x^{2}(2x - 1) $。

答案： 解：
(1)原式 $ = 9x^{2} \cdot (\frac{1}{3}x - 2) $
$ = 3x^{3} - 18x^{2} $.
(2)原式 $ = 2x^{3} - 4x^{2} + 8x - 2x^{3} + x^{2} $
$ = -3x^{2} + 8x $.

6. 先化简，再求值：$ 2x(\frac{1}{2}x^{2} - 1) - 3x(\frac{1}{3}x^{2} + \frac{2}{3}) $，其中$ x = - \frac{1}{2} $。

答案： 解：原式 $ = x^{3} - 2x - x^{3} - 2x = -4x $.
当 $ x = -\frac{1}{2} $ 时，原式 $ = -4 \times (-\frac{1}{2}) = 2 $.

7. (中考创新考法·阅读理解题)已知$ kx + 2y - 4x + 6 $的值与$ x $的取值无关，求$ k $的值。
解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到$ (k - 4)x + 2y + 6 $。
∵代数式的值与$ x $的取值无关，∴$ k - 4 = 0 $，解得$ k = 4 $。
【理解应用】根据上述方法，求解：
(1)若代数式$ m(3x + 2) - 4\cdot6x $的值与$ x $的取值无关，求$ m $的值；
(2)已知$ A = 4x^{2} - (1 - 3n)x $，$ B = 2m(x^{2} - x + 1) $，且$ A - B $的值与$ x $的取值无关，求$ m $，$ n $的值；
【拓展延伸】(3)现有7张如图1所示的长为$ a $，宽为$ b $的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图2所示放置在大长方形$ ABCD $中(纸片间无重叠，无间隙)，大长方形中未被纸片覆盖的区域设为$ S_{1} $，$ S_{2} $，若当$ AD $的长度变化时，$ S_{1} $与$ S_{2} $的差始终为定值，求$ a $与$ b $的数量关系。

答案：
解：
(1) $ m(3x + 2) - 4 \cdot 6x = (3m - 24)x + 2m $.
∵代数式 $ m(3x + 2) - 4 \cdot 6x $ 的值与 $ x $ 的取值无关，
∴ $ 3m - 24 = 0 $，解得 $ m = 8 $.
(2) $ A - B = 4x^{2} - (1 - 3n)x - 2m(x^{2} - x + 1) $
$ = (4 - 2m)x^{2} - (1 - 3n - 2m) \cdot x - 2m $.
∵ $ A - B $ 的值与 $ x $ 的取值无关，
∴ $ \begin{cases} 4 - 2m = 0, \\ 1 - 3n - 2m = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = 2, \\ n = -1. \end{cases} $
(3)如图，左上角阴影部分的长为 $ AE $，宽为 $ AF = 3b $，右下角阴影部分的长为 $ PC $，宽为 $ a $.

∵ $ AD = BC $，即 $ AD = AE + ED = AE + a $，$ BC = BP + PC = 4b + PC $，
∴ $ AE + a = 4b + PC $，即 $ AE = PC + 4b - a $.
∴阴影部分面积之差 $ S = AE \cdot AF - PC \cdot CG = 3bAE - aPC = 3b(PC + 4b - a) - aPC = (3b - a)PC + 12b^{2} - 3ab $.
则 $ 3b - a = 0 $，即 $ a = 3b $.
∴ $ a $ 与 $ b $ 的数量关系为 $ a = 3b $.