《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

1. (综合与实践·操作探究)用四个全等的直角边长分别为 $ a,b(b＞a) $ 的直角三角形拼成如图 1 所示的图形,得到一个大正方形和一个小正方形,且大正方形的边长为 $ c $.
【问题提出】(1)小正方形的面积可表示为$(b-a)^{2}$,大正方形的面积可表示为$4×\frac {1}{2}ab+(b-a)^{2}$;
(2)请写出 $ a,b,c $ 满足的关系式;(化到最简形式)
【问题解决】(3)如图 2,分别以直角三角形的三边 $ a,b,c(c＞b＞a) $ 为边向外作正方形,记为 $ A,B,C $,已知正方形 $ C $ 的面积为 25,直角三角形的面积为 6,求 $ b-a $ 的值.


(2) 根据题意，得$4×\frac {1}{2}ab+(b-a)^{2}=c^{2}.$
化简，得$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
$\therefore a,b,c$满足的关系式为$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
(3) 根据题意，得$a^{2}+b^{2}=c^{2}=25,\frac {1}{2}ab=6,$
$\therefore (b-a)^{2}=b^{2}-2ab+a^{2}=a^{2}+b^{2}-4×\frac {1}{2}ab=25-4×6=1.$
$\because b-a＞0,\therefore b-a=1.$

答案： 解：
(1)$(b-a)^{2}$ $4×\frac {1}{2}ab+(b-a)^{2}$
(2) 根据题意，得$4×\frac {1}{2}ab+(b-a)^{2}=c^{2}.$
化简，得$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
$\therefore a,b,c$满足的关系式为$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
(3) 根据题意，得$a^{2}+b^{2}=c^{2}=25,\frac {1}{2}ab=6,$
$\therefore (b-a)^{2}=b^{2}-2ab+a^{2}=a^{2}+b^{2}-4×\frac {1}{2}ab=25-4×6=1.$
$\because b-a＞0,\therefore b-a=1.$

2. 在课后服务课上,老师准备了若干张如图 1 所示的三种纸片,A 种纸片是边长为 $ a $ 的正方形,B 种纸片是边长为 $ b $ 的正方形,C 种纸片是长为 $ b $,宽为 $ a $ 的长方形,并用 A 种纸片一张,B 种纸片一张,C 种纸片两张拼成如图 2 所示的大正方形.
【发现】(1)根据图 2,写出一个我们熟悉的数学公式:$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$;
【应用】(2)根据(1)中的数学公式,解决下面问题:
①已知 $ a+b=7,a^{2}+b^{2}=25 $,求 $ ab $ 的值;
②若一个长方形的长和宽分别为 $ 8-x $ 和 $ x-2 $,且 $ (8-x)^{2}+(x-2)^{2}=20 $,求这个长方形的面积.


解：(2) ①$\because a+b=7,$
$\therefore (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=49.$
$\because a^{2}+b^{2}=25,$
$\therefore 2ab=49-25=24.$
$\therefore ab=12.$
② 由(1)，得$[(8-x)+(x-2)]^{2}=(8-x)^{2}+2(8-x)(x-2)+(x-2)^{2}=36.$
$\because (8-x)^{2}+(x-2)^{2}=20,$
$\therefore 2(8-x)(x-2)=36-20=16.$
$\therefore (8-x)(x-2)=8.$
答：这个长方形的面积为8.

答案： 解：
(1)$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
(2) ①$\because a+b=7,$
$\therefore (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=49.$
$\because a^{2}+b^{2}=25,$
$\therefore 2ab=49-25=24.$
$\therefore ab=12.$
② 由
(1)，得$[(8-x)+(x-2)]^{2}=(8-x)^{2}+2(8-x)(x-2)+(x-2)^{2}=36.$
$\because (8-x)^{2}+(x-2)^{2}=20,$
$\therefore 2(8-x)(x-2)=36-20=16.$
$\therefore (8-x)(x-2)=8.$
答：这个长方形的面积为8.