《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、预习导学
|图例|定义|性质|面积|
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||从三角形的一个顶点向对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高。|∵AD是△ABC的高，∴$AD \perp BC $。|$S=\frac{1}{2}×$底×高$=\frac{1}{2}BC\cdot AD$|

答案： 垂线　顶点　垂足 $AD \perp BC $

【例1】画出下列三角形的三条高。

答案：
解:如图所示.
　

【变式1】画出△ABC的边AC上的高BE，若AC=3，BE=6，求△ABC的面积。

结论：任意三角形都有____条高，且三条高所在的直线相交于同一点。锐角三角形三条高的交点在它的____部；直角三角形的三条高的交点在它的____上，钝角三角形的三条高的交点在它的____部。

答案：
解:如图,BE即为所求
　　　　　　
　$\because AC = 3$，$BE = 6$，
　$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC \cdot BE = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9$。
结论:三　内　直角顶点　外

【例2】如图，AD，BE分别为△ABC中边BC，AC上的高，若BC=12，AC=10，AD=9，求BE的长。

答案： 解:根据题意,得 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AD = \frac{1}{2}AC \cdot BE $，
　即 $ \frac{1}{2} \times 12 \times 9 = \frac{1}{2} \times 10 \times BE $，
　解得 $ BE = \frac{54}{5} $。
　$\therefore BE$ 的长为 $ \frac{54}{5} $。

【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为边AB上的高。若AC=6，BC=8，AB=10，求CD的长。

答案： 解:根据题意,得 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AC = \frac{1}{2}AB \cdot CD $，
　即 $ \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = \frac{1}{2} \times 10 \times CD $，
　解得 $ CD = 4.8 $。
　$\therefore CD$ 的长为 $ 4.8 $。

【例3】如图，在△ABC中，AB=5，AC=3。
(1)画出△ABC的高BE和CD；
(2)若CD=2，求BE的长。

答案：
解:
(1)如图所示
　　　　
(2)根据题意,得 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot CD = \frac{1}{2}AC \cdot BE $，
　即 $ \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = \frac{1}{2} \times 3 \times BE $，
　解得 $ BE = \frac{10}{3} $。
　$\therefore BE$ 的长为 $ \frac{10}{3} $。

【变式3】如图，在△ABC中，AB=6，BC=8。
(1)画出AB，BC边上的高CD和AE；
(2)若AE=5，求CD的长。

答案：
解:
(1)如图所示.
　　　　　
(2)根据题意,得 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot CD = \frac{1}{2}BC \cdot AE $，
　即 $ \frac{1}{2} \times 6 \times CD = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 $，
　解得 $ CD = \frac{20}{3} $。
　$\therefore CD$ 的长为 $ \frac{20}{3} $。