《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、预习导学
探究:计算下列多项式乘多项式,看看结果有什么特点.
(1)$(x+3)(x-3)$; (2)$(2x+5)(2x-5)$.
平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差,即$(a+b)(a-b)=$$a^{2}-b^{2}$.

答案： 解：
(1)原式$=x^{2}-3x+3x-9$
$=x^{2}-9$。
(2)原式$=4x^{2}-10x+10x-25$
$=4x^{2}-25$。
$a^{2}-b^{2}$

【例1】运用平方差公式计算:
(1)$(\frac {1}{2}+a)(\frac {1}{2}-a)=$$(\frac {1}{2})^{2}-a^{2}$=$\frac {1}{4}-a^{2}$;
(2)$(m-0.5)(m+0.5)=$$m^{2}-0.5^{2}$=$m^{2}-0.25$.

答案：
(1)$(\frac {1}{2})^{2}-a^{2}$ $\frac {1}{4}-a^{2}$
(2)$m^{2}-0.5^{2}$ $m^{2}-0.25$

【变式1】运用平方差公式计算:
(1)$(a-2)(a+2)=$$a^{2}-2^{2}$=$a^{2}-4$;
(2)$(\frac {2}{3}+m)(\frac {2}{3}-m)=$$(\frac {2}{3})^{2}-m^{2}$=$\frac {4}{9}-m^{2}$.

答案：
(1)$a^{2}-2^{2}$ $a^{2}-4$
(2)$(\frac {2}{3})^{2}-m^{2}$ $\frac {4}{9}-m^{2}$

【例2】运用平方差公式计算:
(1)$(3x+4y)(3x-4y)=$$(3x)^{2}-(4y)^{2}$=$9x^{2}-16y^{2}$;
(2)$(-1+2x)(-1-2x)=$$1-4x^{2}$;
(3)$(x^{2}+4y)(x^{2}-4y)=$$x^{4}-16y^{2}$.

答案：
(1)$(3x)^{2}-(4y)^{2}$ $9x^{2}-16y^{2}$
(2)$1-4x^{2}$
(3)$x^{4}-16y^{2}$

【变式2】运用平方差公式计算:
(1)$(4x-3y)(4x+3y)=$$(4x)^{2}-(3y)^{2}$=$16x^{2}-9y^{2}$;
(2)$(mn+1)(mn-1)=$$m^{2}n^{2}-1$;
(3)$(-x+7y)(-x-7y)=$$x^{2}-49y^{2}$.

答案：
(1)$(4x)^{2}-(3y)^{2}$ $16x^{2}-9y^{2}$
(2)$m^{2}n^{2}-1$
(3)$x^{2}-49y^{2}$

【例3】计算:
(1)$(y+x)(-y+x)$;
(2)$(2m-4)(-4-2m)$.

答案： 解：
(1)原式$=(x+y)(x-y)$
$=x^{2}-y^{2}$。
(2)原式$=(-4)^{2}-(2m)^{2}$
$=16-4m^{2}$。

【变式3】计算:
(1)$(1+3a)(-1+3a)$;
(2)$(3x-2y)(-3x-2y)$.

答案： 解：
(1)原式$=(3a)^{2}-1^{2}$
$=9a^{2}-1$。
(2)原式$=(-2y)^{2}-(3x)^{2}$
$=4y^{2}-9x^{2}$。