《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

1. 下列条件不能证明两个直角三角形全等的是(B)
A. 两条直角边对应相等
B. 两个锐角对应相等
C. 一条直角边和斜边对应相等
D. 一条直角边和一个锐角对应相等

答案： B

2. 如图，∠AOB=90°，OA=OB，直线l经过点O，分别过A，B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D。求证：AC=OD。

答案： 证明：$\because ∠AOB=90^{\circ },$
$\therefore ∠AOC+∠BOD=90^{\circ }.$
$\because AC⊥l,BD⊥l,$
$\therefore ∠ACO=∠BDO=90^{\circ }.$
$\therefore ∠A+∠AOC=90^{\circ }.$
$\therefore ∠A=∠BOD.$
在$△AOC$和$△OBD$中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ACO=∠ODB,\\ ∠A=∠BOD,\\ OA=BO,\end{array}\right. $
$\therefore △AOC\cong △OBD(AAS).$
$\therefore AC=OD.$

3. 如图，BC⊥AD于点C，AC=BC，点F为BC上的一点，且AF=BD。
(1)求证：CF=CD；
(2)AF与BD有怎样的位置关系？请说明理由。

答案：
解：
(1)证明：$\because BC⊥AD,$
$\therefore ∠ACF=∠BCD=90^{\circ }.$
在$Rt△ACF$和$Rt△BCD$中，
$\left\{\begin{array}{l} AF=BD,\\ AC=BC,\end{array}\right. $
$\therefore Rt△ACF\cong Rt△BCD(HL).$
$\therefore CF=CD.$
(2)$AF⊥BD$.理由如下：
如图，延长AF交BD于点E.

由
(1)，得$Rt△ACF\cong Rt△BCD,$
$\therefore ∠CAF=∠CBD.$
$\because ∠CAF+∠AFC=90^{\circ },∠CFA=∠EFB,$
$\therefore ∠BEF=180^{\circ }-∠EBF-∠EFB=90^{\circ }.$
$\therefore AF⊥BD.$

4. 如图1，在平面直角坐标系中，OA=2，OB=4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角三角形ABC。
(1)求点C的坐标；
(2)如图2，点P为y轴负半轴上的一个动点，当点P向y轴负半轴向下运动时，以点P为顶点，PA为腰作等腰直角三角形APD，过点D作DE⊥x轴于点E，求OP−DE的值。

答案：
解：
(1)如图1，过点C作$CM⊥x$轴于点M.
$\because ∠MAC+∠OAB=90^{\circ },∠OAB+∠OBA=90^{\circ },$
$\therefore ∠MAC=∠OBA.$
在$△MAC$和$△OBA$中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠CMA=∠AOB,\\ ∠MAC=∠OBA,\\ AC=BA,\end{array}\right. $
$\therefore △MAC\cong △OBA(AAS).$
$\therefore CM=OA=2,MA=OB=4.$
$\therefore OM=OA+MA=2+4=6.$
$\therefore$点C的坐标为$(-6,-2).$

(2)如图2，过点D作$DQ⊥OP$于点Q
则$DE=OQ.$
$\therefore OP - DE=OP - OQ=PQ.$
$\because ∠APO+∠QPD=90^{\circ },∠APO+∠OAP=90^{\circ },$
$\therefore ∠QPD=∠OAP.$
在$△AOP$和$△PQD$中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AOP=∠PQD,\\ ∠OAP=∠QPD,\\ AP=PD,\end{array}\right. $
$\therefore △AOP\cong △PQD(AAS).$
$\therefore PQ=OA=2,$
即$OP - DE=2.$