《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、预习导学
我们类比分数的约分，学习分式的约分。
| | 定义 | 举例 |
| --- | --- | --- |
| 分数的约分 | 根据分数的基本性质，把一个分数的分子与分母的最大公约数约去，叫作分数的约分。 | $\frac{2}{6}=\frac{2×1}{2×3}=\frac{1}{3}$ |
| 分式的约分 | 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分。 | $\frac{x^{3}}{x^{2}y}=\frac{x^{2}·x}{x^{2}·y}=\frac{x}{y}$ |

答案： 公因式

【例1】约分：
(1)$\frac{6m^{2}n}{2mn^{2}}=$$\frac{3m}{n}$； (2)$\frac{-25a^{2}bc^{3}}{15ab^{2}c}=$$-\frac{5ac^{2}}{3b}$；
(3)$\frac{x - y}{x - y}=$1； (4)$\frac{x - 1}{1 - x}=$-1。

答案：
(1)$\frac{3m}{n}$
(2)$-\frac{5ac^{2}}{3b}$
(3)1
(4)-1

【变式1】约分：
(1)$\frac{2bc}{ac}=$$\frac{2b}{a}$； (2)$\frac{4ab}{-8a^{2}b}=$$-\frac{1}{2a}$；
(3)$\frac{m + 1}{1 + m}=$1； (4)$\frac{m - n}{n - m}=$-1。

答案：
(1)$\frac{2b}{a}$
(2)$-\frac{1}{2a}$
(3)1
(4)-1

【例2】约分：
(1)$\frac{2x + 6}{x^{2} - 9}$； (2)$\frac{2a - a^{2}}{a^{2} - 4a + 4}$。

答案： 解：
(1)原式$=\frac{2(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)}=\frac{2}{x - 3}$。
(2)原式$=\frac{a(2 - a)}{(2 - a)^{2}}=\frac{a}{2 - a}$。

【变式2】约分：
(1)$\frac{m}{m^{2} - 2m}$； (2)$\frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 6x + 9}$。

答案： 解：
(1)原式$=\frac{m}{m(m - 2)}=\frac{1}{m - 2}$。
(2)原式$=\frac{(3 + x)(3 - x)}{(x + 3)^{2}}=\frac{3 - x}{x + 3}$。

【例3】下列分式中，属于最简分式的是 (B)
A. $\frac{4}{2x}$
B. $\frac{4}{2x + y}$
C. $\frac{x}{x^{2} + xy}$
D. $\frac{1 - x}{x - 1}$

答案： B

【变式3】下列分式中，属于最简分式的是(A)
A. $\frac{x + 1}{x^{2} + 1}$
B. $\frac{x^{2}}{2x}$
C. $\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$
D. $\frac{3b}{6a}$

答案： A

| | 定义 | 举例 |
| --- | --- | --- |
| 分数的通分 | 根据分数的基本性质，把几个异分母分数分别化成与原来的分数相等的同分母的分数，叫作分数的通分。 | $\frac{1}{2}=\frac{1×3}{2×3}=\frac{3}{6}$，$\frac{2}{3}=\frac{2×2}{3×2}=\frac{4}{6}$ |
| 分式的通分 | 根据分式的基本性质，把几个异分母分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分。 | $\frac{1}{xy}=\frac{1·x}{xy·x}=\frac{x}{x^{2}y}$，$\frac{1}{x^{2}}=\frac{1·(y)}{x^{2}·(y)}=\frac{(y)}{x^{2}y}$ |
分式通分的关键：找出最简公分母（一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母）

答案： 相等 同分母 y y y 高