《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例3】(人教教材P50T1)如图，在直线$MN$上求作一点$P$，使点$P$在$∠AOB$的内部，且点$P$到射线$OA$和$OB$的距离相等。

答案：
解：如图，点$P$即为所求.

【变式3】(人教教材P52T4改编)如图，在$Rt△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，在边$AC$上求作一点$P$，使点$P$到边$BC$和边$AB$的距离相等。

答案：
解：如图，点$P$即为所求.

1. 观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是(D)
A. $OE$是$∠AOB$的平分线
B. $OC=OD$
C. 点$E$到$C$，$D$的距离相等
D. 能说明$∠1=∠2$的依据是$SAS$

答案： D

2. 如图，在$△ABC$中，$AB=3$，$AC=2$，$AD$是它的角平分线，则$S_{△ABD}:S_{△ACD}=$(A)
A. $3:2$
B. $2:3$
C. $9:4$
D. $4:9$

答案： A

3. 如图，$AD$是$△ABC$的角平分线，$DE⊥AB$于点$E$，$△ABC$的面积为$14$，$AB=8$，$DE=2$，则$AC$的长是6。

答案： 6

4. 如图，$BD$是$∠ABC$的平分线，$AB=BC$，点$P$在$BD$上，$PM⊥AD$，$PN⊥CD$，垂足分别为$M$，$N$。求证：$PM=PN$。

答案： 证明：$\because BD$为$∠ABC$的平分线，
$\therefore ∠ABD=∠CBD.$
在$\triangle ABD$和$\triangle CBD$中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=BC,\\ ∠ABD=∠CBD,\\ BD=BD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD\cong \triangle CBD(SAS).$
$\therefore ∠ADB=∠CDB.$
∵点$P$在$BD$上，$PM⊥AD,PN⊥CD$，
$\therefore PM=PN.$

5. (中考新考法·探究与应用)如图，在四边形$ABCD$中，$AC$为$∠BAD$的平分线，过点$C$作$CF⊥AD$交$AD$于点$F$，已知$CB=CD$。
(1)$∠ABC$与$∠ADC$之间有怎样的数量关系？说明理由；
(2)若$CF=6$，$AB=3$，$S_{△ACD}=21$，求$DF$的长。

答案：
解：
(1)$∠ABC+∠ADC=180^{\circ }$. 理由如下：
如图，过点$C$作$CH⊥AB$，交$AB$的延长线于点$H$.

$\because AC$平分$∠BAD,CF⊥AD,CH⊥AB$，
$\therefore CH=CF.$
在$Rt\triangle BCH$和$Rt\triangle DCF$中，
$\left\{\begin{array}{l} CB=CD,\\ CH=CF,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle BCH\cong Rt\triangle DCF(HL).$
$\therefore ∠ADC=∠CBH.$
$\because ∠CBH+∠ABC=180^{\circ }$，
$\therefore ∠ADC+∠ABC=180^{\circ }.$
(2)由
(1)，得$Rt\triangle BCH\cong Rt\triangle DCF$，
$\therefore BH=DF.$
在$Rt\triangle CHA$和$Rt\triangle CFA$中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=AC,\\ CH=CF,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle CHA\cong Rt\triangle CFA(HL).$
$\therefore AH=AF.$
$\because S_{\triangle ACD}=21=\frac {1}{2}AD\cdot CF,CF=6$，
$\therefore AD=7.$
$\because AD+AB=AF+FD+AH-BH=2AF=7+3=10$，
$\therefore AF=5.$
$\therefore DF=AD-AF=7-5=2.$