《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$BD$，$CD$分别是$\angle ABC$，$\angle ACB$的平分线，相交于点$D$，求$\angle D$的度数。（用含$\angle A$的式子表示）

答案： 1. 解：
∵BD，CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB = $\frac{1}{2}$∠ACB.
∴∠DBC + ∠DCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A.
在△BCD 中，∠D = 180° - (∠DBC + ∠DCB) = 180° - (90° - $\frac{1}{2}$∠A) = 90° + $\frac{1}{2}$∠A.
∴∠D 的度数为 90° + $\frac{1}{2}$∠A.

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$BD$，$CD$分别是$\angle CBF$，$\angle BCE$的平分线，相交于点$D$，求$\angle D$的度数。（用含$\angle A$的式子表示）

答案： 2. 解：
∵BD，CD 是∠CBF 和∠BCE 的平分线，
∴∠CBD = $\frac{1}{2}$∠CBF，
∠BCD = $\frac{1}{2}$∠BCE.
∵∠CBF = ∠A + ∠ACB，
∠BCE = ∠A + ∠ABC，
∴∠CBD = $\frac{1}{2}$(∠A + ∠ACB)，
∠BCD = $\frac{1}{2}$(∠A + ∠ABC).
∵∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A，
∠D = 180° - ∠CBD - ∠BCD = 180° - $\frac{1}{2}$(∠A + ∠ACB + ∠A + ∠ABC) = 180° - $\frac{1}{2}$(2∠A + 180° - ∠A) = 90° - $\frac{1}{2}$∠A.
∴∠D 的度数为 90° - $\frac{1}{2}$∠A.

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$BD$，$CD$分别是$\angle ABC$，$\angle ACE$的平分线，相交于点$D$，求$\angle D$的度数。（用含$\angle A$的式子表示）

答案： 3. 解：由三角形的外角性质，得∠A + ∠ABC = ∠ACE，∠D + ∠DBC = ∠DCE.
∵BD，CD 分别是∠ABC，∠ACE 的平分线，
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，
∠DCE = $\frac{1}{2}$∠ACE.
∴$\frac{1}{2}$(∠A + ∠ABC) = ∠D + $\frac{1}{2}$∠ABC.
∴∠D = $\frac{1}{2}$∠A.

4. 如图，$AC$，$BD$交于点$O$，$\angle ABD$和$\angle ACD$的平分线相交于点$P$，求$\angle P$的度数。（用含$\angle A$，$\angle D$的式子表示）

答案： 4. 解：
∵∠A + ∠ABP = ∠P + ∠ACP，∠D + ∠DCP = ∠P + ∠DBP，
∴∠A + ∠ABP + ∠D + ∠DCP = 2∠P + ∠ACP + ∠DBP.
∵CP，BP 分别平分∠DCA，∠DBA，
∴∠ABP = ∠DBP，∠DCP = ∠PCA.
∴∠A + ∠D = 2∠P.
∴∠P = $\frac{1}{2}$(∠A + ∠D).