《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、预习导学
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
几何语言：∵$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，$DE = DF$，∴$ \angle 1 = \angle 2$。

答案： 距离相等 $DE \perp AB$ $DF \perp AC$ $DE = DF$ $ \angle 1 = \angle 2$

如图，$∠AOB=70^{\circ }$，$PA⊥OA$于点A，$PB⊥OB$于点B，$PA=PB$，则$∠1$的度数为____。

答案：  $35^\circ$

【例1】如图，$BE=CF$，$DE⊥AB$的延长线于点E，$DF⊥AC$于点F，且$DB=DC$。求证：
(1)$△BED\cong △CFD$；
(2)AD是$∠BAC$的平分线。

答案： 证明:
(1) $ \because DE \perp AB$，$DF \perp AC$，
$ \therefore \angle BED = \angle CFD = 90^\circ$。
在 $ \text{Rt} \triangle EDB$ 和 $ \text{Rt} \triangle FDC$ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { B D = C D, } \\ { B E = C F, } \end{array} \right. $
$ \therefore \text{Rt} \triangle EDB \cong \text{Rt} \triangle FDC ( \text{HL} ) $。
(2) 由
(1)，得 $ \text{Rt} \triangle EDB \cong \text{Rt} \triangle FDC$，
$ \therefore DE = DF$。
又 $ \because DE \perp AB$，$DF \perp AC$，
$ \therefore AD$ 是 $ \angle BAC$ 的平分线。

【变式1】(人教教材P52T3)如图，$CD⊥AB$，$BE⊥AC$，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，$OB=OC$。求证：$∠1=∠2$。

答案： 证明: $ \because CD \perp AB$，$BE \perp AC$，
$ \therefore \angle ODB = \angle OEC = 90^\circ$。
在 $ \triangle ODB$ 和 $ \triangle OEC$ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle O D B = \angle O E C, } \\ { \angle D O B = \angle E O C, } \\ { O B = O C, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ODB \cong \triangle OEC ( \text{AAS} ) $。
$ \therefore OD = OE$。
$ \because OD \perp AB$，$OE \perp AC$，
$ \therefore \angle 1 = \angle 2$。

【例2】(人教教材P51例题)如图，$△ABC$的角平分线BM，CN相交于点P。求证：
(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等；
(2)$△ABC$的三条角平分线交于一点。

答案：
证明:
(1) 如图，过点 $P$ 作 $PD \perp AB$，$PE \perp BC$，$PF \perp AC$，垂足分别为 $D$，$E$，$F$。

$ \because BP$ 平分 $ \angle ABC$，$PD \perp AB$，$PE \perp BC$，
$ \therefore PD = PE$。
$ \because CP$ 平分 $ \angle ACB$，$PE \perp BC$，$PF \perp AC$，
$ \therefore PE = PF$。
$ \therefore PD = PE = PF$，
即点 $P$ 到三边 $AB$，$BC$，$CA$ 的距离相等。
(2) 由
(1)，得点 $P$ 到边 $AB$，$CA$ 的距离相等，
$ \therefore $点 $P$ 在 $ \angle A$ 的平分线上。
$ \therefore \triangle ABC$ 的三条角平分线交于一点。

【变式2】(人教教材P51T2)如图，已知$△ABC$，BF是$△ABC$的外角$∠CBD$的平分线，CG是$△ABC$的外角$∠BCE$的平分线，BF，CG相交于点P。求证：
(1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等；
(2)点P在$∠A$的平分线上。

答案：
解:
(1) 如图，过点 $P$ 作 $PH \perp AE$ 于点 $H$，$PO \perp BC$ 于点 $O$，$PQ \perp AB$ 于点 $Q$。
$ \because \angle CBD$ 的平分线 $BF$ 与 $ \angle BCE$ 的平分线 $CG$ 相交于点 $P$，
$ \therefore PH = PO$，$PO = PQ$。
$ \therefore PH = PO = PQ$。
$ \therefore $ 点 $P$ 到三边 $AB$，$BC$，$CA$ 所在直线的距离相等。

(2) 如图，连接 $AP$。
由
(1)，得 $PH = PQ$，$PH \perp AE$，$PQ \perp AD$，
$ \therefore $ 点 $P$ 在 $ \angle A$ 的平分线上。