《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、预习导学
| | 图例 | 判定(1)| 判定(2)| 判定(3)|
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| 等边三角形 | | 三边相等的三角形是等边三角形. | 三个角都相等的三角形是等边三角形. | 有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形. |
| 几何语言 | | $\because$$AB = AC = BC$，$\therefore \triangle ABC$是等边三角形. | $\because$$\angle A=\angle B=\angle C$，$\therefore \triangle ABC$是等边三角形. | $\because$$\angle A = 60^{\circ}$，$\triangle ABC$是等腰三角形，$\therefore \triangle ABC$是等边三角形. |

答案： 一、预习导学
$AB = AC = BC$ $\angle A=\angle B=\angle C$
$\angle A = 60^{\circ}$，$\triangle ABC$是等腰三角形

【例1】(人教教材P82例4)如图，$\triangle ABC$是等边三角形，$DE// BC$，分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$. 求证：$\triangle ADE$是等边三角形.

答案： 【例 1】证明：$\because\triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore\angle A=\angle B=\angle C$．
$\because DE// BC$，
$\therefore\angle ADE=\angle B$，$\angle AED=\angle C$．
$\therefore\angle A=\angle ADE=\angle AED$．
$\therefore\triangle ADE$是等边三角形．

【变式1】如图，$AC$与$BD$相交于点$O$，$\triangle OAB$是等边三角形，$AB// CD$. 求证：$\triangle OCD$是等边三角形.

答案： 【变式 1】证明：$\because\triangle OAB$是等边三角形，
$\therefore\angle A=\angle B = 60^{\circ}$．
又$\because AB// CD$，
$\therefore\angle A=\angle C = 60^{\circ}$，$\angle B=\angle D = 60^{\circ}$．
$\therefore\angle DOC = 180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$．
$\therefore\angle D=\angle C=\angle DOC$．
$\therefore\triangle OCD$是等边三角形．

【例2】(人教教材P93T11)如图，在等边三角形$ABC$的三边上，分别取点$D$，$E$，$F$，使$AD=BE=CF$. 求证：$\triangle DEF$是等边三角形.

答案： 【例 2】证明：$\because\triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore\angle A=\angle B = 60^{\circ}$，$AB = BC = AC$．
$\because AD = BE = CF$，
$\therefore AF = BD$．
在$\triangle ADF$和$\triangle BED$中，
$\left\{\begin{array}{l}AD = BE,\\\angle A=\angle B,\\AF = BD,\end{array}\right.$
$\therefore\triangle ADF\cong\triangle BED(SAS)$．
$\therefore DF = DE$．
同理，可得$DE = EF$，
$\therefore DE = DF = EF$．
$\therefore\triangle DEF$是等边三角形．

【变式2】(人教教材P86T13改编)如图，$P$，$Q$是$\triangle ABC$的边$BC$上的两点，并且$BP=PQ=QC=AP=AQ$.
(1)求证：$\triangle APQ$是等边三角形；
(2)求$\angle BAC$的度数.

答案： 【变式 2】解：
(1)证明：$\because PQ = AP = AQ$，
$\therefore\triangle APQ$是等边三角形．
(2)$\because BP = PQ = QC = AP = AQ$，
$\therefore\angle PAQ=\angle APQ=\angle AQP = 60^{\circ}$，$\angle B=\angle BAP$，$\angle C=\angle CAQ$．
又$\because\angle BAP+\angle ABP=\angle APQ$，$\angle C+\angle CAQ=\angle AQP$，
$\therefore\angle BAP=\angle CAQ = 30^{\circ}$．
$\therefore\angle BAC = 120^{\circ}$．
$\therefore\angle BAC$的度数是$120^{\circ}$．