《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例1】分解因式：
(1)$2ma^{2}-8mb^{2}$； (2)$36x^{2}+36x+9$.

答案： 解：
(1)原式$=2m(a^{2}-4b^{2})$
$=2m(a+2b)(a-2b)$。
(2)原式$=9(4x^{2}+4x+1)$
$=9(2x+1)^{2}$。

【变式1】分解因式：
(1)$ax^{3}-ax$； (2)$3x^{3}-18x^{2}y+27xy^{2}$.

答案： 解：
(1)原式$=ax(x^{2}-1)$
$=ax(x+1)(x-1)$。
(2)原式$=3x(x^{2}-6xy+9y^{2})$
$=3x(x-3y)^{2}$。

【例2】分解因式：$(a-3)^{2}-(2a-6)$.

答案： 解：原式$=(a-3)^{2}-2(a-3)$
$=(a-3)(a-3-2)$
$=(a-3)(a-5)$。

【变式2】分解因式：$16(2m+n)^{2}-8n(2m+n)+n^{2}$.

答案： 解：原式$=[4(2m+n)]^{2}-8n(2m+n)$
$+n^{2}$
$=[4(2m+n)-n]^{2}$
$=(8m+3n)^{2}$。

【例3】分解因式：$(x^{2}+4)^{2}-16x^{2}$.

答案： 解：原式$=(x^{2}+4+4x)(x^{2}+4-4x)$
$=(x+2)^{2}(x-2)^{2}$。

【变式3】分解因式：$16m^{4}-8m^{2}+1$.

答案： 解：原式$=(4m^{2})^{2}-8m^{2}+1$
$=(4m^{2}-1)^{2}$
$=(2m+1)^{2}(2m-1)^{2}$。

【例4】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：$4=2^{2}-0^{2}$，$12=4^{2}-2^{2}$，$20=6^{2}-4^{2}$，因此4，12，20都是这种“神秘数”.
(1)28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；
(2)试说明：“神秘数”能被4整除；
(3)两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？试说明理由.

答案： 解：
(1)是.理由如下：
$\because 28=8^{2}-6^{2},2012=504^{2}-502^{2}$，
$\therefore 28$是“神秘数”，2012 是“神秘数”。
(2)设两个连续偶数分别是$2k$和$2k+2$，
则$(2k+2)^{2}-(2k)^{2}=(2k+2+2k)(2k+$
$2-2k)=2(4k+2)=4(2k+1)$。
$\therefore$“神秘数”能被 4 整除。
(3)设两个连续奇数分别是$2k+1,2k-1$，
则$(2k+1)^{2}-(2k-1)^{2}=8k$。
由
(2)，得“神秘数”是 4 的奇数倍，不是
偶数倍，
但 8 是 4 的偶数倍，所以两个连续奇数的
平方差不是“神秘数”。