《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、预习导学
探究幂的乘方法则：
(1)$(3^{2})^{3}=3^{2}×3^{2}×3^{2}=3^{()}$；
(2)$(a^{2})^{3}=$________$=a^{()}$；
(3)$(a^{m})^{3}=$________$=a^{()}$。

答案： 6
@@$a^{2}\cdot a^{2}\cdot a^{2}$ 6
@@$a^{m}\cdot a^{m}\cdot a^{m}$ 3m

一般地，对于任意底数$a$与任意正整数$m$，$n$，
$(a^{m})^{n}=\overbrace{a^{m}·a^{m}·\cdots·a^{m}}^{n个a^{m}}=a^{\overbrace{m+m+\cdots+m}^{n个m}}=a^{mn}$。
因此，我们有$(a^{m})^{n}=$$a^{mn}$（$m$，$n$都是正整数）。
即幂的乘方，底数不变，指数相乘。

答案： $a^{mn}$ 不变 相乘

【例1】(人教教材P100例2改编)计算：
(1)$(10^{3})^{5}=$$10^{15}$，$(a^{4})^{4}=$$a^{16}$；
(2)$(a^{m})^{2}=$$a^{2m}$，$-(x^{4})^{3}=$$-x^{12}$。

答案：
(1)$10^{15}$ $a^{16}$
(2)$a^{2m}$ $-x^{12}$

【变式1】计算：
(1)$(10^{3})^{3}=$$10^{9}$，$(x^{3})^{2}=$$x^{6}$；
(2)$-(x^{m})^{5}$=$-x^{5m}$，$[(a^{3})^{m}]^{2}=$$a^{6m}$。

答案：
(1)$10^{9}$ $x^{6}$
(2)$-x^{5m}$ $a^{6m}$

【例2】计算：
(1)$(y^{2})^{4}·y^{3}$；
(2)$2(x^{2})^{3}-(x^{3})^{2}$。

答案： 解:
(1)原式$=y^{8}\cdot y^{3}=y^{11}$.
(2)原式$=2x^{6}-x^{6}=x^{6}$.

【变式2】计算：
(1)$-a^{4}·(a^{3})^{2}$；
(2)$m^{3}·m^{5}-3(m^{2})^{4}$。

答案： 解:
(1)原式$=-a^{4}\cdot a^{6}=-a^{10}$.
(2)原式$=m^{8}-3m^{8}=-2m^{8}$.

(1)$(ab)^{2}=(ab)·(ab)=(a·a)(b·b)=a^{2}b^{2}$；
(2)$(ab)^{3}=$$(ab)\cdot (ab)\cdot (ab)$$=$$(a\cdot a\cdot a)(b\cdot b\cdot b)$$=a^{3}b^{3}$。
一般地，对于任意底数$a$，$b$与任意正整数$n$，
$(ab)^{n}=\overbrace{(ab)·(ab)·\cdots·(ab)}^{n个ab}=\overbrace{(a·a·\cdots·a)}^{n个a}·\overbrace{(b·b·\cdots·b)}^{n个b}=$$a^{n}b^{n}$。
因此，我们有$(ab)^{n}=$$a^{n}b^{n}$（$n$是正整数）。
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

答案：
(1)2 2
(2)$(ab)\cdot (ab)\cdot (ab)$ $(a\cdot a\cdot a)(b\cdot b\cdot b)$
3 3 $a^{n}b^{n}$ $a^{n}b^{n}$ 每一个因式 相乘

【例3】(人教教材P100例3改编)计算：
(1)$(2a)^{3}=2^{3}·a^{3}=$$8a^{3}$；
(2)$(-5x^{3})^{2}=(-5)^{2}·(x^{3})^{2}=$$25x^{6}$；
(3)$(-x^{2})^{3}=(-1)^{3}·(x^{2})^{3}=$$-x^{6}$；
(4)$(-3x^{3}y)^{3}=$$(-3)^{3}\cdot (x^{3})^{3}\cdot y^{3}$$=$$-27x^{9}y^{3}$。

答案：
(1)$8a^{3}$
(2)$25x^{6}$
(3)$-x^{6}$
(4)$(-3)^{3}\cdot (x^{3})^{3}\cdot y^{3}$ $-27x^{9}y^{3}$

(1)$(4y^{2})^{2}=$$4^{2}\cdot y^{4}$$=$$16y^{4}$；
(2)$(-xy^{3})^{2}=$$(-1)^{2}\cdot x^{2}\cdot (y^{3})^{2}$$=$$x^{2}y^{6}$；
(3)$(-3×10^{2})^{3}=$$(-3)^{3}×(10^{2})^{3}$$=$$-27×10^{6}$$=$$-27 000 000$；
(4)$(-\dfrac{1}{2}xy^{2})^{3}=$$(-\frac {1}{2})^{3}\cdot x^{3}\cdot (y^{2})^{3}$$=$$-\frac {1}{8}x^{3}y^{6}$。

答案：
(1)$4^{2}\cdot y^{4}$ $16y^{4}$
(2)$(-1)^{2}\cdot x^{2}\cdot (y^{3})^{2}$ $x^{2}y^{6}$
(3)$(-3)^{3}×(10^{2})^{3}$ $-27×10^{6}$
-27 000 000
(4)$(-\frac {1}{2})^{3}\cdot x^{3}\cdot (y^{2})^{3}$ $-\frac {1}{8}x^{3}y^{6}$

【例4】已知$10^{m}=2$，$10^{n}=5$。
(1)$10^{3m}=$8；
(2)求$10^{3m+2n}$的值。
解:(2)原式$=10^{3m}\cdot 10^{2n}=(10^{m})^{3}\cdot (10^{n})^{2}$
$=2^{3}\cdot 5^{2}=200$.

答案： 解:
(1)8
(2)原式$=10^{3m}\cdot 10^{2n}=(10^{m})^{3}\cdot (10^{n})^{2}$
$=2^{3}\cdot 5^{2}=200$.

【变式4】(人教教材P102T8改编)
(1)$(-3)^{2024}·(\dfrac{1}{3})^{2024}=$1；
(2)已知$2^{m}=a$，$32^{n}=6$，求$2^{3m+10n}$。
解:(2)原式$=2^{3m}\cdot 2^{10n}=(2^{m})^{3}\cdot (2^{5})^{2n}=(2^{m})^{3}\cdot (32^{n})^{2}=a^{3}\cdot 6^{2}=36a^{3}$.

答案： 解:
(1)1
(2)原式$=2^{3m}\cdot 2^{10n}=(2^{m})^{3}\cdot (2^{5})^{2n}=$
$(2^{m})^{3}\cdot (32^{n})^{2}=a^{3}\cdot 6^{2}=36a^{3}$.