《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、预习导学
等边三角形的性质：
(1)三边相等；
(2)三角相等，且等于60°；
(3)三线合一；
(4)是轴对称图形，有3条对称轴.

几何语言：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∠A=∠B=∠C=60°.

答案： 相等 相等 $60^{\circ}$ 轴对称 3 60

如图，若△ABC是等边三角形，AB=2cm.则下列说法错误的是 ( )
A. BC=2cm，AC=2cm
B. ∠A=∠B=∠C
C. △ABC的周长为6cm
D. ∠A的平分线不一定平分BC

答案： D

【例1】如图，AD是等边三角形ABC的高，AB=6cm.求：(1)∠1的度数；(2)BD的长.

答案： 解：
(1) $\because \triangle ABC$ 是等边三角形，
$\therefore AB = AC = BC$，$\angle BAC = 60^{\circ}$。
又 $\because AD \perp BC$，
$\therefore \angle 1 = \frac{1}{2}\angle BAC = 30^{\circ}$。
(2) $\because BC = AB = 6\mathrm{cm}$，
$\therefore BD = \frac{1}{2}BC = 3\mathrm{cm}$。
$\therefore BD$ 的长为 $3\mathrm{cm}$。

【变式1】如图，在等边三角形ABC中，DB是边AC上的高，点E是BC延长线上的一点，且DB=DE，求∠E和∠1的度数.

答案： 解：$\because \triangle ABC$ 是等边三角形，
$\therefore \angle ABC = 60^{\circ}$。
$\because BD \perp AC$，
$\therefore \angle DBC = \frac{1}{2}\angle ABC = 30^{\circ}$。
$\because DB = DE$，
$\therefore \angle E = \angle DBC = 30^{\circ}$。
$\therefore \angle EDB = 180^{\circ} - \angle E - \angle DBC = 120^{\circ}$，
$\angle 1 = \angle EDB - \angle CDB = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$。

【例2】(人教教材P93T12)如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD.求证：DB=DE.

答案： 证明：$\because \triangle ABC$ 是等边三角形，$BD$ 是中线，
$\therefore \angle DBC = \frac{1}{2}\angle ABC = 30^{\circ}$。
$\because CD = CE$，
$\therefore \angle CDE = \angle E$。
$\therefore \angle BCA = \angle CDE + \angle E = 2\angle E = 60^{\circ}$。
$\therefore \angle E = 30^{\circ}$。
$\therefore \angle DBC = \angle E = 30^{\circ}$。
$\therefore DB = DE$。

【变式2】如图，在等边三角形ABC中，CD⊥AB，点E在AC上且∠AED=60°.求证：DE=CE.

答案： 解：$\because \triangle ABC$ 是等边三角形，$CD \perp AB$，
$\therefore \angle ACB = 60^{\circ}$。
$\therefore \angle ACD = \angle BCD = \frac{1}{2}\angle ACB = 30^{\circ}$。
$\because \angle AED = 60^{\circ}$，
$\therefore DE // BC$。
$\therefore \angle EDC = \angle BCD = 30^{\circ}$。
$\therefore \angle EDC = \angle ACD$。
$\therefore DE = CE$。