《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

1. 如图，$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，添加一个条件，可使用HL判定$Rt\triangle ABC$与$Rt\triangle ABD$全等。以下给出的条件适合的是(A)
A. $AC = AD$
B. $AB = AB$
C. $\angle ABC=\angle ABD$
D. $\angle BAC=\angle BAD$

答案： A

2. (人教教材P42例6)如图，$AC\perp BC$，$BD\perp AD$，垂足分别为$C$，$D$，$AC = BD$。求证：$BC = AD$。

答案： 证明:
∵AC⊥BC,BD⊥AD,
∴∠C = ∠D = 90°.
　在Rt△ABC和Rt△BAD中，
　{AB = BA，
　{AC = BD，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC = AD.

3. (人教教材P45T11改编)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是高。
求证：(1)点$D$为$BC$的中点；(2)$AD$平分$\angle BAC$。

答案： 证明:
(1)由AD是高，得AD⊥BC,
∴∠ADB = ∠ADC = 90°.
　在Rt△ADB和Rt△ADC中,
　{AB = AC，
　{AD = AD，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).
∴BD = CD.
∴点D为BC的中点
(2)由
(1),得Rt△ADB≌Rt△ADC,
∴∠BAD = ∠CAD.
∴AD平分∠BAC.

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$AC = BC$，直线$l$经过顶点$C$，过$A$，$B$两点分别作$l$的垂线$AE$，$BF$，垂足分别为点$E$，$F$，$AE = CF$。求证：(1)$\angle EAC=\angle FCB$；(2)$AC\perp BC$。

答案： 证明:
(1)
∵AE⊥l,BF⊥l,
　
∴∠AEC = ∠BFC = 90°.
　　在Rt△ACE和Rt△CBF中,
　　{AC = BC，
　　{AE = CF，
　
∴Rt△ACE≌Rt△CBF(HL).
　
∴∠EAC = ∠FCB.
(2)
∵∠EAC + ∠ACE = 90°,
　
∴∠ACE + ∠FCB = 90°,
　　即∠ACB = 180°−90° = 90°.
　
∴AC⊥BC.

5. (中考热点·证明两直线垂直)如图，在$\triangle ABC$中，过点$A$向$BC$作垂线，垂足为点$E$，点$D$为$CA$延长线上的一点，过点$D$作$DF// AE$交$BC$于$F$，交$AB$于点$P$。若$DF = BE$，$CD = AB$。请判断$AB$与$CD$的位置关系，并说明理由。

答案： 解:AB⊥CD.
　理由如下:
∵AE⊥BC,DF//AE,
∴DF⊥BC.
∴∠DFC = ∠AEB = 90°.
　在Rt△ABE和Rt△CDF中,
　{AB = CD，
　{BE = DF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).
∴∠B = ∠D.
∵∠BPF = ∠APD,
∴∠DAP = ∠BFD = 90°.
∴AB⊥CD.