《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例3】如图，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，垂足分别为$E$，$F$，连接$EF$，$EF$与$AD$相交于点$G$。$AD$与$EF$垂直吗？证明你的结论。

答案： 解：$AD \perp EF$。
证明如下：$\because AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，
$\therefore DE = DF$，$\angle AED = \angle AFD = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle AED$和$Rt\triangle AFD$中，
$\left\{\begin{array}{l} AD = AD,\\ DE = DF,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle AED \cong Rt\triangle AFD(HL)$。
$\therefore AE = AF$。
又$\angle EAG = \angle FAG$，$AG = AG$，
$\therefore \triangle AEG \cong \triangle AFG$。
$\therefore \angle AGE = \angle AGF = \frac{1}{2} \times 180^{\circ} = 90^{\circ}$。
$\therefore AD \perp EF$。

【变式3(1)】(人教教材P53T8)如图，$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$，$E$是$BC$的中点，$DE$平分$\angle ADC$。求证：$AE$平分$\angle DAB$。(提示：过点$E$作$EF \perp AD$，垂足为$F$)

答案：
证明：如图，过点$E$作$EF \perp AD$于点$F$。

$\because \angle C = 90^{\circ}$，
$\therefore CE \perp DC$。
又$\because EF \perp AD$，$DE$平分$\angle ADC$，
$\therefore EF = CE$。
又$\because$点$E$为$BC$的中点，
$\therefore EB = CE$。
$\therefore EF = EB$。
$\because \angle B = 90^{\circ}$，即$EB \perp AB$。
又$\because EF \perp AD$，
$\therefore AE$平分$\angle DAB$。

【变式3(2)】(人教教材P53T6)如图，$OC$是$\angle AOB$的平分线，$P$是$OC$上的一点，$PD \perp OA$，$PE \perp OB$，垂足分别为$D$，$E$。$F$是$OC$上的另一点，连接$DF$，$EF$。求证：$DF = EF$。

答案： 证明：$\because OC$是$\angle AOB$的平分线，$PD \perp OA$，$PE \perp OB$，
$\therefore PD = PE$。
在$Rt\triangle OPD$和$Rt\triangle OPE$中，
$\left\{\begin{array}{l} OP = OP,\\ PD = PE,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle OPD \cong Rt\triangle OPE(HL)$。
$\therefore OD = OE$。
$\because OC$是$\angle AOB$的平分线，
$\therefore \angle DOF = \angle EOF$。
在$\triangle ODF$和$\triangle OEF$中，
$\left\{\begin{array}{l} OD = OE,\\ \angle DOF = \angle EOF,\\ OF = OF,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ODF \cong \triangle OEF(SAS)$。
$\therefore DF = EF$。

【变式3(3)】(人教教材P59T8)如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村。要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？

答案：
解：如图所示，点$O$处就是度假村的修建位置。