《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例3】如图，已知点D在线段BC上，∠B=∠C=60°.△ADE为等边三角形.求证：BC=AB+CE.

答案： 证明：$\because \triangle ADE$ 是等边三角形，
$\therefore AD = DE$，$\angle ADE = 60^{\circ}$。
又 $\because \angle B = \angle C = 60^{\circ}$，
$\angle BAD + \angle B = \angle ADE + \angle CDE$，
$\therefore \angle BAD = \angle CDE$。
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle DCE$ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle B = \angle C, } \\ { \angle BAD = \angle CDE, } \\ { AD = DE, } \end{array} \right.$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle DCE ( \mathrm { AAS } )$。
$\therefore BD = CE$，$AB = CD$。
又 $\because BC = BD + CD = CE + AB$，
$\therefore BC = AB + CE$。

【变式3】(人教教材P85T11改编)如图，△ABD，△AEC都是等边三角形.
(1)求证：BE=DC；
(2)求∠BOD的度数.

答案： 解：
(1) 证明：$\because \triangle ABD$，$\triangle AEC$ 都是等边三角形，
$\therefore AD = AB$，$AE = AC$，$\angle DAB = \angle CAE = 60^{\circ}$。
$\because \angle DAC = \angle BAC + 60^{\circ}$，$\angle BAE = \angle BAC + 60^{\circ}$，
$\therefore \angle DAC = \angle BAE$。
在 $\triangle DAC$ 和 $\triangle BAE$ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { AD = AB, } \\ { \angle DAC = \angle BAE, } \\ { AC = AE, } \end{array} \right.$
$\therefore \triangle DAC \cong \triangle BAE ( \mathrm { SAS } )$。
$\therefore BE = DC$。
(2) 由
(1)，得 $DAC \cong \triangle BAE$，
$\therefore \angle ADC = \angle ABE$。
$\because \angle ADC + \angle DAB = \angle ABE + \angle BOD$，
$\therefore \angle BOD = \angle DAB = 60^{\circ}$。

1. 如图，过等边三角形ABC的顶点A作射线，若∠1=15°，则∠2的度数是 (A)
A. 75°
B. 65°
C. 55°
D. 85°

答案： 1. A

2. 如图是一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠1+∠2=240°.

答案： 2. $240^{\circ}$

3. 如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且AE=CD，AD与BE相交于点F.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BFD的度数.

答案： 3. 解：
(1) 证明：$\because \triangle ABC$ 是等边三角形，
$\therefore \angle BAE = \angle C = 60^{\circ}$，$AB = CA$。
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle CAD$ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { AB = CA, } \\ { \angle BAE = \angle C, } \\ { AE = CD, } \end{array} \right.$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle CAD ( \mathrm { SAS } )$。
(2) 由
(1)，得 $\triangle ABE \cong \triangle CAD$，
$\therefore \angle ABE = \angle CAD$。
$\because \angle BFD = \angle ABE + \angle BAD$，
$\therefore \angle BFD = \angle CAD + \angle BAD = \angle BAC = 60^{\circ}$。

4. (中考热点·手拉手模型·类比思想)如图1，在等边三角形ABC中，点D是边AB上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC全等吗? 请说说你的理由；
(2)求证：AE//BC；
(3)如图2，当动点D运动到边BA的延长线上时，所作△EDC仍为等边三角形，请问是否仍有AE//BC? 请说明理由.

答案： 4. 解：
(1) $\triangle DBC \cong \triangle EAC$。理由如下：
$\because \triangle ABC$ 和 $\triangle EDC$ 都是等边三角形，
$\therefore BC = AC$，$DC = EC$，$\angle ACB = \angle B = \angle DCE = 60^{\circ}$。
$\therefore \angle ACB - \angle ACD = \angle DCE - \angle ACD$。
$\therefore \angle BCD = \angle ACE$。
在 $\triangle DBC$ 和 $\triangle EAC$ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { BC = AC, } \\ { \angle BCD = \angle ACE, } \\ { DC = EC, } \end{array} \right.$
$\therefore \triangle DBC \cong \triangle EAC ( \mathrm { SAS } )$。
(2) 证明：由
(1)，得 $\triangle DBC \cong \triangle EAC$，
$\therefore \angle B = \angle CAE$。
又 $\because \angle ACB = \angle B = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle CAE = \angle ACB = 60^{\circ}$。
$\therefore AE // BC$。
(3) $AE // BC$。理由如下：
$\because \triangle ABC$ 和 $\triangle EDC$ 都是等边三角形，
$\therefore BC = AC$，$DC = EC$，$\angle ACB = \angle B = \angle DCE = 60^{\circ}$。
$\therefore \angle ACB + \angle ACD = \angle DCE + \angle ACD$，
即 $\angle BCD = \angle ACE$。
在 $\triangle DBC$ 和 $\triangle EAC$ 中，
$\left\{ \begin{array} { l } { BC = AC, } \\ { \angle BCD = \angle ACE, } \\ { DC = EC, } \end{array} \right.$
$\therefore \triangle DBC \cong \triangle EAC ( \mathrm { SAS } )$。
$\therefore \angle B = \angle CAE = 60^{\circ}$。
$\therefore \angle CAE = \angle ACB = 60^{\circ}$。
$\therefore AE // BC$。