《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例3】(多维原创)如图，在$\triangle ABC$中，点$E$，$D$分别在$AB$，$BC$上，$AD$与$CE$相交于点$F$，$AB=AC$，$AE=BD$，$AD=CE$.
(1)求证：$\triangle ACE\cong \triangle BAD$；
(2)若$\angle DFC=60^{\circ}$，求证：$\triangle ABC$是等边三角形.

答案： 【例 3】证明：
(1)在$\triangle ACE$和$\triangle BAD$中，
$\left\{\begin{array}{l}AE = BD,\\AC = AB,\\CE = AD,\end{array}\right.$
$\therefore\triangle ACE\cong\triangle BAD(SSS)$．
(2)由
(1)，得$\triangle ACE\cong\triangle BAD$，
$\therefore\angle ECA=\angle DAB$．
$\because\angle DFC=\angle FAC+\angle ECA = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle DAB+\angle FAC=\angle BAC = 60^{\circ}$．
又$\because AB = AC$，
$\therefore\triangle ABC$是等边三角形．

【变式3】如图，在等边三角形$ABC$中，点$P$在$\triangle ABC$内，点$Q$在$\triangle ABC$外，且$\angle ABP=\angle ACQ$，$BP=CQ$，问$\triangle APQ$是什么形状的三角形？试证明你的结论.

答案： 【变式 3】解：$\triangle APQ$是等边三角形．
证明如下：$\because\triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore AB = AC$．
在$\triangle ABP$和$\triangle ACQ$中，
$\left\{\begin{array}{l}AB = AC,\\\angle ABP=\angle ACQ,\\BP = CQ,\end{array}\right.$
$\therefore\triangle ABP\cong\triangle ACQ(SAS)$．
$\therefore AP = AQ$，$\angle BAP=\angle CAQ$．
$\because\angle BAC=\angle BAP+\angle PAC = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle PAQ=\angle CAQ+\angle PAC = 60^{\circ}$．
$\therefore\triangle APQ$是等边三角形．

1. 如图，在等边三角形$ABC$中，$\angle ABC$与$\angle ACB$的平分线相交于点$O$，且$OD// AB$，$OE// AC$.
(1)试判定$\triangle ODE$的形状，并说明理由；
(2)若$BC=10$，求$\triangle ODE$的周长.

答案： 1. 解：
(1)$\triangle ODE$是等边三角形．
理由如下：$\because\triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore\angle ABC=\angle ACB = 60^{\circ}$．
$\because OD// AB$，$OE// AC$，
$\therefore\angle ODE=\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle OED=\angle ACB = 60^{\circ}$．
$\therefore\angle DOE = 60^{\circ}$．
$\therefore ODE=\angle OED=\angle DOE$．
$\therefore\triangle ODE$是等边三角形．
(2)$\because BO$平分$\angle ABC$，
$\therefore\angle ABO=\angle DBO$．
$\because OD// AB$，
$\therefore\angle ABO=\angle DOB$．
$\therefore\angle DOB=\angle DBO$．
$\therefore BD = OD$．
同理，可证$CE = OE$．
$\therefore\triangle ODE$的周长为$OD + DE + OE = BD + DE + CE = BC = 10$．

2. (中考新考法·探究与应用)如图，$\triangle ABC$是等边三角形，且$AB=2$，点$D$在线段$BC$上，以$AD$为一边在$AD$的右侧作$\triangle ADE$，使$AD=AE$，$\angle DAE=\angle BAC$，连接$CE$.
(1)求证：$\angle BCE+\angle BAC=180^{\circ}$；
(2)当四边形$ADCE$的周长取最小值时，求$BD$的长.

答案： 2. 解：
(1)证明：$\because\triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore AB = AC$，$\angle B=\angle ACB = 60^{\circ}$．
$\because\angle BAC=\angle DAE$，
$\therefore\angle BAD=\angle CAE$．
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，
$\left\{\begin{array}{l}AB = AC,\\\angle BAD=\angle CAE,\\AD = AE,\end{array}\right.$
$\therefore\triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS)$．
$\therefore\angle ACE=\angle ABD = 60^{\circ}$．
$\therefore\angle BCE=\angle BCA+\angle ACE = 120^{\circ}$．
$\therefore\angle BCE+\angle BAC = 180^{\circ}$．
(2)由
(1)，得$\triangle ABD\cong\triangle ACE$，
$\therefore BD = CE$．
$\therefore$四边形$ADCE$的周长为$AD + DC + CE + AE = AD + DC + BD + AE = BC + 2AD$．
$\therefore$当$AD$最短时，四边形$ADCE$的周长最小，即$AD\perp BC$时，四边形$ADCE$的周长最小．
$\because AB = AC = 2$，$AD\perp BC$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}CB = 1$．