《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

【例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAE，点E是CD的中点，AB=2AE.求证：∠B=∠CAE.

答案：
证明:如图,延长AE至点F,使EF=EA,连接DF.

∵点E是CD的中点，
∴EC=ED.
在△DEF和△CEA中,
$\left\{ \begin{array} { l } { E F = E A }, \\ { \angle D E F = \angle C E A }, \\ { E D = E C }, \end{array} \right.$
∴△DEF≌△CEA(SAS).
∴∠F=∠CAE.
∵AB=2AE,AF=2AE,
∴AB=AF.
∵AD平分∠BAE,
∴∠BAD=∠FAD.
在△ABD和△AFD中，
$\left\{ \begin{array} { l } { A B = A F }, \\ { \angle B A D = \angle F A D }, \\ { A D = A D }, \end{array} \right.$
∴△ABD≌△AFD(SAS).
∴∠B=∠F.
∴∠B=∠CAE.

【变式1】如图，已知CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AC=BD，∠ACB=∠ABC.求证：CD=2CE.

答案：
证明:如图，过点B作BF//AC交CE的延长线于点F.

∵CE是△ABC的中线,BF//AC,
∴AE=BE,∠A=∠ABF,∠ACE=∠F.
在△ACE和△BFE中,
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle A C E = \angle F }, \\ { \angle A = \angle A B F }, \\ { A E = B E }, \end{array} \right.$
∴△ACE≌△BFE(AAS).
∴CE=EF,AC=BF.
∴CF=2CE.
又
∵CB是△ADC的中线，
∴AC=AB=BD=BF.
∵∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC,
∴∠DBC=∠FBC.
在△DBC和△FBC中,
$\left\{ \begin{array} { l } { D B = F B }, \\ { \angle D B C = \angle F B C }, \\ { B C = B C }, \end{array} \right.$
∴△DBC≌△FBC(SAS).
∴DC=CF=2CE.

【例2】如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，延长BD至点E.连接CE，且∠DCE=∠DCB.求证：BC=AB+CE.

答案：
证明:如图，在BC上取一点F,使得FB=AB,连接DF.

∵BD平分∠ABC,∠ABC=40°,
∴∠ABD=∠FBD=20°.
在△ABD和△FBD中,
$\left\{ \begin{array} { l } { A B = F B }, \\ { \angle A B D = \angle F B D }, \\ { B D = B D }, \end{array} \right.$
∴△ABD≌△FBD(SAS).
∴AD=FD,∠BDF=∠BDA=180°-∠A-∠ABD=180°-100°-20°=60°.
∴∠FDC=60°.
∵∠EDC=∠BDA,
∴∠FDC=∠EDC.
在△EDC和△FDC中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle E D C = \angle F D C }, \\ { C D = C D }, \\ { \angle D C B = \angle D C E }, \end{array} \right.$
∴△EDC≌△FDC(ASA).
∴CE=CF.
∴BC=FB+CF=AB+CE.

【变式2】如图，已知AB//CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上.求证：BC=AB+CD.

答案：
证明:如图，在BC上取点F,使BF=BA,连接EF.

∵BE,CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
在△ABE和△FBE中,
$\left\{ \begin{array} { l } { A B = F B }, \\ { \angle 1 = \angle 2 }, \\ { B E = B E }, \end{array} \right.$
∴△ABE≌△FBE(SAS).
∴∠A=∠5.
∵AB//CD,
∴∠A+∠D=180°.
∴∠5+∠D=180.
∵∠5+∠6=180°,
∴∠6=∠D.
在△CDE和△CFE中,
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle 6 = \angle D }, \\ { \angle 3 = \angle 4 }, \\ { C E = C E }, \end{array} \right.$
∴△CDE≌△CFE(AAS).
∴CF=CD.
∵BC=BF+CF,
∴BC=AB+CD.