《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、预习导学

答案：
解:如图,Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等.
　　　　　　
斜边　直角边　AB = A'B'　BC = B'C'

【例1】(人教教材P45T12改编)如图，$AC\perp CB$，$DB\perp CB$，垂足分别为$C$，$B$，$AB = DC$。求证：
(1)$\angle A=\angle D$；
(2)$\angle ABD=\angle ACD$。

答案： 证明:
(1)
∵AC⊥CB,DB⊥CB,
∴∠ACB = ∠DBC = 90°.
　在Rt△ACB和Rt△DBC中,
　{AB = DC，
　{CB = BC，
∴Rt△ACB≌Rt△DBC.
∴∠A = ∠D.
(2)由
(1),得Rt△ACB≌Rt△DBC,
∴∠ABC = ∠DCB.
∴∠DBC−∠ABC = ∠ACB−∠DCB,即∠ABD = ∠ACD.

【变式1】(多维原创)如图，点$B$为$AD$的中点，$\angle C=\angle E = 90^{\circ}$，$AC = BE$。求证：
(1)$\triangle ABC\cong \triangle BDE$；
(2)$BC\perp BE$。

答案： 证明:
(1)
∵点B为AD的中点，
∴AB = BD.
　在Rt△ABC和Rt△BDE中,
　{AB = BD，
　{AC = BE，
∴Rt△ABC≌Rt△BDE(HL).
(2)由
(1),得Rt△ABC≌Rt△BDE,
∴∠A = ∠DBE.
∵∠A + ∠ABC = 90°,
∴∠DBE + ∠ABC = 90°.
∵∠ABC + ∠CBE + ∠DBE = 180°,
∴∠CBE = 90°,
　即BC⊥BE.

【例2】如图，点$B$，$F$，$C$，$E$在同一直线上，$AC$，$DF$相交于点$G$，$AB\perp BE$，垂足为点$B$，$DE\perp BE$，垂足为点$E$，且$AC = DF$，$BF = CE$。
(1)求证：$\triangle ABC\cong \triangle DEF$；
(2)若$\angle A = 65^{\circ}$，求$\angle AGF$的度数。

答案： 解:
(1)证明:
∵AB⊥BE,DE⊥BE,
∴∠B = 90°,∠E = 90°.
∵BF = CE,
∴BF + CF = CE + CF,即BC = EF.在Rt△ABC和Rt△DEF中,
　{AC = DF，
　{BC = EF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
(2)
∵∠A = 65°,∠B = 90°,
∴∠ACB = 90°−65° = 25°.
　由
(1),得Rt△ABC≌Rt△DEF,
∴∠ACB = ∠DFE = 25°.
∴∠AGF = ∠ACB + ∠DFE = 50°.

【变式2】(人教教材P43练习T2改编)如图，$AB = CD$，$AE\perp BC$，$DF\perp BC$，垂足分别为$E$，$F$，$CE = BF$。求证：$AB// CD$。

答案： 证明:
∵AE⊥BC,DF⊥BC,
∴∠AEB = ∠DFC = 90°.
∵BF = CE,
∴BF−EF = CE−EF.
∴BE = CF.
　在Rt△ABE和Rt△DCF中,
　{AB = DC，
　{BE = CF，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).
∴∠B = ∠C.
∴AB//CD.