《2025年多维导学案八年级数学上册人教版》

一、预习导学
我们类比分数的基本性质，学习分式的基本性质。
| | 文字描述 | 式子表示 |
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| 分数的基本性质 | 分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变。 | $\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}$，$\frac{a}{b}=\frac{a÷ c}{b÷ c}(c\neq0)$ |
| 分式的基本性质 | 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 | $\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A÷ C}{B÷ C}(C\neq0)$ |

答案： 同一个 0 整式

【例1】(人教教材P140例2改编)下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？
(1)$\frac{a}{2b}=\frac{ac}{2bc}(c\neq0)$； (2)$\frac{x^{3}}{xy}=\frac{x^{2}}{y}$； (3)$\frac{x + 1}{x}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-x}$。

答案： 解：
(1)根据分式的基本性质，
若 $ c \neq 0 $，则 $ \frac{a}{2b} = \frac{a \cdot c}{2b \cdot c} = \frac{ac}{2bc} $。
(2)根据分式的基本性质，
若 $ x \neq 0 $，则 $ \frac{x^3}{xy} = \frac{x^3 \div x}{xy \div x} = \frac{x^2}{y} $。
(3)根据分式的基本性质，若 $ x \neq 1 $，
则 $ \frac{x + 1}{x} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{x(x - 1)} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - x} $。

【变式1】下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？
(1)$\frac{a^{2}}{b}=\frac{a^{2}x}{bx}(x\neq0)$； (2)$\frac{4x^{3}}{6x^{2}}=\frac{2x}{3}$； (3)$\frac{(x - y)^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{x - y}{x + y}$。

答案： 解：
(1)根据分式的基本性质，
若 $ x \neq 0 $，则 $ \frac{a^2}{b} = \frac{a^2 \cdot x}{b \cdot x} = \frac{a^2x}{bx} $。
(2)根据分式的基本性质，
若 $ x \neq 0 $，则 $ \frac{4x^3}{6x^2} = \frac{4x^3 \div 2x^2}{6x^2 \div 2x^2} = \frac{2x}{3} $。
(3)根据分式的基本性质，若 $ x \neq y $，
则 $ \frac{(x - y)^2}{x^2 - y^2} = \frac{(x - y)^2 \div (x - y)}{(x^2 - y^2) \div (x - y)} = \frac{x - y}{x + y} $。

【例2】(人教教材P141例3)填空：
(1)$\frac{x^{3}}{x^{2}y}=\frac{x}{y}$；(2)$\frac{3x^{2}+3xy}{6x^{2}}=\frac{x + y}{2x}$；(3)$\frac{1}{ab}=\frac{a}{a^{2}b}$；(4)$\frac{2a - b}{a^{2}}=\frac{2ab - b^2}{a^{2}b}(b\neq0)$。

答案：
(1)$ x $
(2)$ 2x $
(3)$ a $
(4)$ 2ab - b^2 $

【变式2】(人教教材P141T2)填空：
(1)$\frac{ab}{b^{2}}=\frac{a}{(\ \ \ \ \ )}$；(2)$\frac{a^{2}+a}{ac}=\frac{(\ \ \ \ \ \ \ )}{c}$；(3)$\frac{y}{x}=\frac{(\ \ \ \ \ )}{x^{2}}$；(4)$\frac{1}{xy}=\frac{(\ \ \ \ \ )}{2xy^{2}}$。
(1)b；(2)a + 1；(3)xy；(4)2y

答案：
(1)$ b $
(2)$ a + 1 $
(3)$ xy $
(4)$ 2y $

【例3】(人教教材P145T5改编)下列等式成立的是(D)
A. $\frac{-5y}{-x^{2}}=-\frac{5y}{x^{2}}$
B. $\frac{-a}{2b}=-\frac{a}{-2b}$
C. $\frac{-x}{x + 1}=\frac{x}{-x + 1}$
D. $-\frac{1}{x - 1}=\frac{1}{1 - x}$

答案： D

【变式3】下列选项正确的是( )
A. $\frac{4m}{-3n}=-\frac{-4m}{3n}$
B. $-\frac{-x}{2y}=\frac{x}{2y}$
C. $\frac{3}{-x + y}=-\frac{3}{x + y}$
D. $\frac{-a + 1}{a}=\frac{a + 1}{-a}$

答案： B