《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例2 (1)(多选)(2023·合肥模拟)已知函数$f(x) = \sin x(\sin x - \cos x)$，则下列说法正确的是（ ）
A.函数$f(x)$的最小正周期为$\pi$
B.点(-$\frac{\pi}{8}$,0)是$y = f(x)$图象的对称中心
C.点($\frac{\pi}{8}$,$\frac{1}{2}$)是$y = f(x)$图象的对称中心
D.直线$x = \frac{5\pi}{8}$是$y = f(x)$图象的对称轴
(2)已知函数$f(x) = \sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4} + \varphi)$是奇函数，且$\varphi\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，则$\varphi$的值为________.

答案：
(1)AD $[f(x)=\sin x(\sin x - \cos x)=\sin^{2}x-\sin x\cos x=\frac{1 - \cos 2x}{2}-\frac{1}{2}\sin 2x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4})+\frac{1}{2}$，$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$，故A正确；当$x = -\frac{\pi}{8}$时，$2x+\frac{\pi}{4}=0$，此时$\sin(2x+\frac{\pi}{4})=0$，则函数关于点$(-\frac{\pi}{8},\frac{1}{2})$对称，故B错误；当$x = \frac{\pi}{8}$时，$2x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$，此时$\sin(2x+\frac{\pi}{4})=1$，则函数关于直线$x=\frac{\pi}{8}$对称，故C错误；当$x = \frac{5\pi}{8}$时，$2x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}$，此时$\sin(2x+\frac{\pi}{4})=-1$，则函数关于直线$x=\frac{5\pi}{8}$对称，故D正确。]
(2)$\frac{\pi}{4}$

跟踪训练2 (1)(多选)下列函数中，最小正周期为$\pi$的是（ ）
A. $y = \cos|2x|$
B. $y = |\cos x|$
C. $y = \cos(2x + \frac{\pi}{6})$
D. $y = \tan(2x - \frac{\pi}{4})$
(2)(2023·日照模拟)已知函数$f(x) = 2\sin(\omega x + \varphi)(\omega＞0,|\varphi|＜\frac{\pi}{2})$的最小正周期为$\pi$，其图象关于直线$x = \frac{\pi}{6}$对称，则$f(\frac{\pi}{4})$ =________.

答案：
(1)ABC
(2)$\sqrt{3}$

例3 (1)(2022·北京)已知函数$f(x) = \cos^{2}x - \sin^{2}x$，则（ ）
A. $f(x)$在(-$\frac{\pi}{2}$,-$\frac{\pi}{6}$)上单调递减
B. $f(x)$在(-$\frac{\pi}{4}$,$\frac{\pi}{12}$)上单调递增
C. $f(x)$在(0,$\frac{\pi}{3}$)上单调递减
D. $f(x)$在($\frac{\pi}{4}$,$\frac{7\pi}{12}$)上单调递增
(2)函数$f(x) = \sin(\frac{\pi}{3} - 2x)$的单调递减区间为________________.
延伸探究 若例3(2)中的函数不变，求其在[0,π]上的单调递减区间.

答案：
(1)C [依题意可知$f(x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos 2x$。对于A选项，因为$x\in(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6})$，所以$2x\in(-\pi,-\frac{\pi}{3})$，函数$f(x)=\cos 2x$在$(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6})$上单调递增，所以A选项不正确；对于B选项，因为$x\in(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{12})$，所以$2x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6})$，函数$f(x)=\cos 2x$在$(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{12})$上不单调，所以B选项不正确；对于C选项，因为$x\in(0,\frac{\pi}{3})$，所以$2x\in(0,\frac{2\pi}{3})$，函数$f(x)=\cos 2x$在$(0,\frac{\pi}{3})$上单调递减，所以C选项正确；对于D选项，因为$x\in(\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{12})$，所以$2x\in(\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6})$，函数$f(x)=\cos 2x$在$(\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{12})$上不单调，所以D选项不正确。]
(2)$[k\pi-\frac{\pi}{12},k\pi+\frac{5\pi}{12}],k\in\mathbf{Z}$ 延伸探究 解 令$A=[k\pi-\frac{\pi}{12},k\pi+\frac{5\pi}{12}],k\in\mathbf{Z},B=[0,\pi]$，$\therefore A\cap B=[0,\frac{5\pi}{12}]\cup[\frac{11\pi}{12},\pi]$，$\therefore f(x)$在$[0,\pi]$上的单调递减区间为$[0,\frac{5\pi}{12}]$和$[\frac{11\pi}{12},\pi]$。

例4 已知$f(x) = \sin(2x - \varphi)(0＜\varphi＜\frac{\pi}{2})$在[0,$\frac{\pi}{3}$]上单调递增，且$f(x)$在(0,$\frac{7\pi}{8}$)上有最小值，那么$\varphi$的取值范围是（ ）
A. [$\frac{\pi}{6}$,$\frac{\pi}{2}$)
B. [$\frac{\pi}{6}$,$\frac{\pi}{4}$)
C. [$\frac{\pi}{3}$,$\frac{\pi}{2}$)
D. [$\frac{\pi}{4}$,$\frac{\pi}{3}$)

答案： B [由$x\in[0,\frac{\pi}{3}]$，可得$2x-\varphi\in[-\varphi,\frac{2\pi}{3}-\varphi]$，$\because$由$0\lt\varphi\lt\frac{\pi}{2}$，且$f(x)$在$[0,\frac{\pi}{3}]$上单调递增，可得$\frac{2\pi}{3}-\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}$，所以$\frac{\pi}{6}\leqslant\varphi\lt\frac{\pi}{2}$。当$x\in(0,\frac{7\pi}{8})$时，$2x-\varphi\in(-\varphi,\frac{7\pi}{4}-\varphi)$，由$f(x)$在$(0,\frac{7\pi}{8})$上有最小值，可得$\frac{7\pi}{4}-\varphi\gt\frac{3\pi}{2}$，所以$\varphi\lt\frac{\pi}{4}$。综上，$\frac{\pi}{6}\leqslant\varphi\lt\frac{\pi}{4}$。]

跟踪训练3 (1)设函数$f(x) = \cos(\frac{\pi}{4} - 2x)$，则$f(x)$在[0,$\frac{\pi}{2}$]上的单调递减区间是（ ）
A. [0,$\frac{\pi}{8}$]
B. [0,$\frac{\pi}{4}$]
C. [$\frac{\pi}{4}$,$\frac{\pi}{2}$]
D. [$\frac{\pi}{8}$,$\frac{\pi}{2}$]
(2)若$f(x) = \cos x - \sin x$在[-a,a]上单调递减，则$a$的最大值是（ ）
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $\frac{3\pi}{4}$
D. $\pi$

答案：
(1)D
(2)A