《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练2（1）（2023·深圳质检）已知$f(x)$为偶函数，当$x\lt0$时，$f(x)=x^3 - x$，则曲线$y = f(x)$在点$(1,0)$处的切线方程是（ ）
A. $2x - y - 2 = 0$
B. $4x - y - 4 = 0$
C. $2x + y - 2 = 0$
D. $4x + y - 4 = 0$
（2）若函数$f(x)=x - \frac{1}{x}+a\ln x$存在与$x$轴平行的切线，则实数$a$的取值范围是______.

答案：
(1)C　
(2)$(-\infty,-2]$

例4（1）（2024·青岛模拟）已知定义在区间$(0,+\infty)$上的函数$f(x)=-2x^2 + m$，$g(x)=-3\ln x - x$，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则$m$的值为（ ）
A. 2
B. 5
C. 1
D. 0
（2）若两曲线$y=\ln x - 1$与$y = ax^2$存在公切线，则正实数$a$的取值范围是（ ）
A. $(0,2e]$
B. $[\frac{1}{2}e^{-3},+\infty)$
C. $(0,\frac{1}{2}e^{-3}]$
D. $[2e,+\infty)$

答案：
(1)C　[根据题意,设两曲线$y = f(x)$与$y = g(x)$的公共点为$(a,b)$，其中$a＞0$，由$f(x)=-2x^2 + m$，可得$f'(x)=-4x$，则切线的斜率$k = f'(a)=-4a$，由$g(x)=-3\ln x - x$，可得$g'(x)=-\frac{3}{x}-1$，则切线的斜率$k = g'(a)=-\frac{3}{a}-1$，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以$-4a=-\frac{3}{a}-1$，解得$a = 1$或$a=-\frac{3}{4}$(舍去)，又由$g(1)=-1$，即公共点的坐标为$(1,-1)$，将点$(1,-1)$代入$f(x)=-2x^2 + m$，可得$m = 1$。]
(2)B　[设公切线与曲线$y=\ln x - 1$和$y = ax^2$的切点分别为$(x_1,\ln x_1 - 1)$，$(x_2,ax_2^2)$，其中$x_1＞0$，对于$y=\ln x - 1$有$y'=\frac{1}{x}$，则切线方程为$y-(\ln x_1 - 1)=\frac{1}{x_1}(x - x_1)$，即$y=\frac{1}{x_1}x+\ln x_1 - 2$，对于$y = ax^2$有$y'=2ax$，则切线方程为$y - ax_2^2=2ax_2(x - x_2)$，即$y = 2ax_2x - ax_2^2$，所以$\begin{cases}\frac{1}{x_1}=2ax_2\\\ln x_1 - 2=-ax_2^2\end{cases}$，则$-\frac{1}{4ax_1^2}=\ln x_1 - 2$，即$\frac{1}{4a}=2x_1^2 - x_1^2\ln x_1(x_1＞0)$，令$g(x)=2x^2 - x^2\ln x$，$x＞0$，则$g'(x)=3x - 2x\ln x=x(3 - 2\ln x)$，令$g'(x)=0$，得$x = e^{\frac{3}{2}}$，当$x\in(0,e^{\frac{3}{2}})$时，$g'(x)＞0$，$g(x)$单调递增；当$x\in(e^{\frac{3}{2}},+\infty)$时，$g'(x)＜0$，$g(x)$单调递减，所以$g(x)_{max}=g(e^{\frac{3}{2}})=\frac{1}{2}e^3$，故$0＜\frac{1}{4a}\leq\frac{1}{2}e^3$，即$a\geq\frac{1}{2}e^{-3}$。]

跟踪训练3（1）（2023·青岛模拟）若曲线$C_1$：$f(x)=x^2 + a$和曲线$C_2$：$g(x)=4\ln x - 2x$存在有公共切点的公切线，则$a =$______.
（2）已知$f(x)=e^x - 1$，$g(x)=\ln x + 1$，则$f(x)$与$g(x)$的公切线有（ ）
A. 0条
B. 1条
C. 2条
D. 3条

答案：
(1)-3　
(2)C

1.函数的单调性与导数的关系

答案： 单调递增　单调递减　常数函数

2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数$f(x)$的____________；
第2步，求出导数$f'(x)$的____________；
第3步，用$f'(x)$的零点将$f(x)$的定义域划分为若干个区间，列表给出$f'(x)$在各区间上的正负，由此得出函数$y = f(x)$在定义域内的单调性.

答案： 定义域　零点