《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

(1)已知$M,N$是椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$上关于原点$O$对称的两点，$P$是椭圆$C$上异于$M,N$的点，且$\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}$的最大值是$\frac{1}{4}a^{2}$，则椭圆$C$的离心率是 ( )
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案：

(2)已知椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$的左顶点为$A$，右焦点为$F$，$M$是椭圆上任意一点，则$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MF}$的取值范围为 ( )
A. $[-16,0]$
B. $[-8,0]$
C. $[0,8]$
D. $[0,16]$

答案： D　[方法一，由题意知$A(-4,0)$，$F(2,0)$，设$M(x_0,y_0)$，则$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MF}=(-4 - x_0,-y_0)\cdot(2 - x_0,-y_0)=(x_0 - 2)(x_0 + 4)+y_0^{2}=x_0^{2}+2x_0 - 8 + 12-\frac{3}{4}x_0^{2}=\frac{1}{4}x_0^{2}+2x_0 + 4=\frac{1}{4}(x_0 + 4)^{2}$，因为$\frac{x_0^{2}}{16}+\frac{y_0^{2}}{12}=1$，所以$\frac{x_0^{2}}{16}=1-\frac{y_0^{2}}{12}\leq1$，所以$-4\leq x_0\leq4$，所以$0\leq\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MF}\leq16$. 方法二　由题意知$A(-4,0)$，$F(2,0)$，设$M(x_0,y_0)$，取线段$AF$的中点$N$，则$N(-1,0)$，连接$MN$，则$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MF}=(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NA})\cdot(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NF})=(\overrightarrow{MN}-\frac{1}{2}\overrightarrow{FA})\cdot(\overrightarrow{MN}+\frac{1}{2}\overrightarrow{FA})=\overrightarrow{MN}^{2}-\frac{1}{4}\overrightarrow{FA}^{2}=\overrightarrow{MN}^{2}-9=(x_0 + 1)^{2}+y_0^{2}-9=x_0^{2}+2x_0 + 1 + 12-\frac{3}{4}x_0^{2}-9=\frac{1}{4}x_0^{2}+2x_0 + 4=\frac{1}{4}(x_0 + 4)^{2}$，因为$\frac{x_0^{2}}{16}+\frac{y_0^{2}}{12}=1$，所以$\frac{x_0^{2}}{16}=1-\frac{y_0^{2}}{12}\leq1$，所以$-4\leq x_0\leq4$，所以$0\leq\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MF}\leq16$.]

1.双曲线的定义
把平面内与两个定点$F_1,F_2$的距离的差的________等于非零常数(________$|F_1F_2|$)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________.
注意：(1)若将“小于$|F_1F_2|$”改为“等于$|F_1F_2|$”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以$F_1,F_2$为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于$|F_1F_2|$”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段$F_1F_2$的垂直平分线.

答案： 绝对值　小于　焦点　焦距

2.双曲线的标准方程和简单几何性质
|性质|$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a＞0,b＞0$)|$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ ($a＞0,b＞0$)|
|--|--|--|
|焦点|||
|焦距|||
|范围|________或________，$y\in R$|$y\leq -a$或$y\geq a$，$x\in R$|
|对称性|对称轴：________；对称中心：________||
|顶点|||
|轴|实轴：线段________，长：________；虚轴：线段$B_1B_2$，长：________，实半轴长：________，虚半轴长：________||
|渐近线|||
|离心率|$e = \frac{c}{a} \in$________||
|$a,b,c$的关系|$c^2 =$________ ($c ＞ a ＞ 0,c ＞ b ＞ 0$)||

答案： F(-C,0),F2(C,0)　　F:(0,-C),F2(0,C)　|F|F2|=2c　x≤-a 　x≥a　坐标轴　原点　A(一a,0)，A2(a,0)　A(0,-a),A2(0,a)　A)A2　2a　2b　a　b　y=±$\frac{b}{a}$x 　y=±$\frac{a}{b}$　　(1,+∞)　a²+b²