《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1 (1)(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y = x^n在第一象限的图象，已知n取±2，±1/2四个值，则相对应曲线C_1，C_2，C_3，C_4的n依次为 ( )


(2)(2023·无锡模拟)“n = 1”是“幂函数f(x)=(n^2 - 3n + 3)x^(2n - 3)在(0，+∞)上单调递减”的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案：
(1)B ；
(2)C[因为f(x)=(n²-3n+3)x²ⁿ⁻³ 是幂函数，所以n²-3n+3=1，即n²-3n+2=0，解得n=1或n=2，当n=1时，f(x)=x⁻¹=$\frac{1}{x}$在(0,+∞)上单调递减；当n=2时，f(x)=x在(0,+∞)上单调递增。所以“n=1”是“幂函数f(x)=(n²-3n+3)x²ⁿ⁻³在(0,+∞)上单调递减”的充要条件。]

跟踪训练1 (1)幂函数y = $x^(m^2$ + m - 2)(0≤m≤3，m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，+∞)上单调递增，则m的值为 ( )
A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3
(2)(2023·临沂模拟)如图所示是函数y = x^(m/n)(m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则 ( )
A. m，n是奇数，且m/n＜1
B. m是偶数，n是奇数，且m/n＜1
C. m是偶数，n是奇数，且m/n＞1
D. m，n是奇数，且m/n＞1

答案：
(1)D　[当m=0时，y=x⁻²，由幂函数性质得，y=x⁻²在(0,+∞)上单调递减；当m=1时，y=x⁰，由幂函数性质得，y=x⁰在(0，+∞)上是常函数；当m=2时，y=x⁴，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，y=x⁴在(0,+∞)上单调递增；当m=3时，y=x¹⁰，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，在(0，+∞)上单调递增。]；
(2)B　[由幂函数性质可知，y=x^(m/n)与y=x的图象恒过定点(1,1)，即在第一象限内的交点坐标为(1,1)，当0＜x＜1时，x^(m/n)＞x，则$\frac{m}{n}$＜1；又y=x^(m/n)的图象关于y轴对称，
∴y=x^(m/n)为偶函数，
∴(-x)^(m/n)=x^(m/n)，又m,n互质，
∴m为偶数，n为奇数。]

跟踪训练2 已知二次函数f(x)的图象过点(0，3)，对称轴为直线x = 2，且方程f(x)=0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为____________________.

答案： f(x)=x² - 4x + 3

例3 (多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f(x)=ax^2 + bx + c的图象如图所示，则下列说法正确的是 ( )

A. 2a + b = 0
B. 4a + 2b + c＜0
C. 9a + 3b + c＜0
D. abc＜0

答案： ACD

例4 (2024·福州模拟)已知二次函数f(x)=ax^2 - x + 2a - 1.
(1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围；
(2)若a＞0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.

答案：
(1)由题意知a≠0。当a＞0时，f(x)=ax² - x + 2a - 1的图象开口向上，对称轴方程为x = $\frac{1}{2a}$，所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足$\frac{1}{2a}$≥2。又a＞0，所以0＜a≤$\frac{1}{4}$；当a＜0时，f(x)=ax² - x + 2a - 1的图象开口向下，对称轴方程为x = $\frac{1}{2a}$＜0，所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立。综上，a的取值范围是(-∞,0)∪(0,$\frac{1}{4}$]。
(2)①当0＜$\frac{1}{2a}$≤1，即a≥$\frac{1}{2}$时，f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)=f
(1)=3a - 2；②当1＜$\frac{1}{2a}$＜2，即$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$时，f(x)在区间[1,$\frac{1}{2a}$]上单调递减，在区间[$\frac{1}{2a}$,2]上单调递增，此时g(a)=f($\frac{1}{2a}$)=2a - $\frac{1}{4a}$ - 1；③当$\frac{1}{2a}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{4}$时，f(x)在区间[1,2]上单调递减，此时g(a)=f
(2)=6a - 3。综上所述，g(a)=$\begin{cases}6a - 3,a\in(0,\frac{1}{4}]\\2a - \frac{1}{4a} - 1,a\in(\frac{1}{4},\frac{1}{2})\\3a - 2,a\in[\frac{1}{2},+\infty)\end{cases}$

典例 (1)已知函数f(x)= -1/2 x^2 + x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a + b等于 ( )
A. -4 B. 1/6 C. 2 D. 13/6
(2)若函数f(x)=x^2 - 2bx + 3a在区间[0，1]上的最大值为M，最小值为m，则M - m的值 ( )
A. 与a无关，与b有关
B. 与a有关，与b无关
C. 与a有关，且与b有关
D. 与a无关，且与b无关

答案：
(1)A　[因为f(x)= -$\frac{1}{2}$x² + x = -$\frac{1}{2}$(x - 1)² + $\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$的图象的对称轴为x = 1，开口向下，函数在(-∞,1]上单调递增，在[1,+∞)上单调递减。依题意3b≤$\frac{1}{2}$，所以b≤$\frac{1}{6}$，所以f(x)在区间[a,b]上单调递增，所以$\begin{cases}f(a)=3a\\f(b)=3b\end{cases}$，即$\begin{cases}-\frac{1}{2}a² + a = 3a\\-\frac{1}{2}b² + b = 3b\end{cases}$，所以a，b为方程$\frac{1}{2}$x² + 2x = 0的两根，所以a + b = -4。]
(2)A　[函数f(x)=x² - 2bx + 3a的图象开口向上，且对称轴为直线x = b。①当b＞1时，f(x)在[0,1]上单调递减，则M = f
(0)=3a，m = f
(1)=1 - 2b + 3a，此时M - m = 2b - 1，故M - m的值与a无关，与b有关；②当b＜0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则M = f
(1)=1 - 2b + 3a，m = f
(0)=3a，此时M - m = 1 - 2b，故M - m的值与a无关，与b有关；③当0≤b≤1时，m = f(b)=3a - b²，若0≤b≤$\frac{1}{2}$，则f
(1)≥f
(0)，有M = f
(1)=1 - 2b + 3a，
∴M - m = b² - 2b + 1，故M - m的值与a无关，与b有关，若b＞$\frac{1}{2}$，则f
(1)＜f
(0)，有M = f
(0)=3a，
∴M - m = b²，故M - m的值与a无关，与b有关。综上，M - m的值与a无关，与b有关。]

跟踪训练3 (1)(2024·宣城模拟)已知y=(x - m)(x - n)+2023(m＜n)，且α，β(α＜β)是方程y = 0的两根，则α，β，m，n的大小关系是 ( )
A. α＜m＜n＜β
B. m＜α＜n＜β
C. m＜α＜β＜n
D. α＜m＜β＜n

答案： C　[y=(x - m)(x - n)+2023(m＜n)为二次函数，图象开口向上。因为α,β(α＜β)是方程y = 0的两根，故α,β(α＜β)为二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，其中f(m)=f(n)=2023，画出大致图象可知，显然m＜α＜β＜n。]

跟踪训练3 (2)(2023·镇江模拟)函数f(x)=x^2 - 4x + 2在区间[a，b]上的值域为[-2，2]，则b - a的取值范围是____________.

答案： [2,4]解析　解方程f(x)=x² - 4x + 2 = 2，得x = 0或x = 4，解方程f(x)=x² - 4x + 2 = -2，得x = 2。由于函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[-2,2]，若函数f(x)在区间[a,b]上单调，则[a,b]=[0,2]或[a,b]=[2,4]，此时b - a取得最小值2；若函数f(x)在区间[a,b]上不单调，且当b - a取最大值时，[a,b]=[0,4]，所以b - a的最大值为4，所以b - a的取值范围是[2,4]