《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练2 (2024·咸阳模拟)已知函数$f(x)=\ln x+x+\frac{2}{ax}(a\neq0)$.
(1)当$a = 1$时，求$f(x)$的极值；
(2)若对$\forall x\in(e^{-1},e)$，$f(x)\lt x + 2$，求实数$a$的取值范围.

答案： 解　
(1)当$a = 1$时，$f(x)=\ln x + x + \frac{2}{x}$，定义域为$(0,+\infty)$，则$f'(x)=\frac{1}{x}+1-\frac{2}{x^{2}}=\frac{(x - 1)(x + 2)}{x^{2}}$，令$f'(x)＞0$，得$x＞1$，令$f'(x)＜0$，得$0＜x＜1$， 故函数$f(x)$的单调递减区间为$(0,1)$，单调递增区间为$(1,+\infty)$， 故$f(x)$有极小值$f(1)=0 + 1 + 2 = 3$，无极大值.
(2)若对$\forall x\in(e^{-1},e)$，$f(x)＜x + 2$，即对$\forall x\in(e^{-1},e)$，$\ln x+\frac{2}{ax}-2＜0$，令$g(x)=\ln x+\frac{2}{ax}-2$， 则$g'(x)=\frac{1}{x}-\frac{2}{ax^{2}}=\frac{ax - 2}{ax^{2}}$， ①当$a＜0$时，$g'(x)=\frac{ax - 2}{ax^{2}}＞0$，函数$g(x)$在$(e^{-1},e)$上单调递增， 则$g(x)＜g(e)=\ln e+\frac{2}{ae}-2=-1+\frac{2}{ae}＜0$，符合题意； ②当$a＞0$时， 令$g'(x)=0$，解得$x=\frac{2}{a}＞0$， 则函数$g(x)$在$(0,\frac{2}{a})$上单调递减，在$(\frac{2}{a},+\infty)$上单调递增， 若$g(x)＜0$在$(e^{-1},e)$上恒成立， 只需满足$\begin{cases}g(e^{-1})=-3+\frac{2}{ae^{-1}}\leq0\\g(e)=-1+\frac{2}{ae}\leq0\end{cases}$， 解得$a\geq\frac{2e}{3}$， 综上，实数$a$的取值范围为$(-\infty,0)\cup[\frac{2e}{3},+\infty)$.

例3 (2023·济南模拟)已知函数$f(x)=\frac{2e\ln x}{x}-1$(其中$e$为自然对数的底数)，函数$g(x)=x^{3}+ax^{2}+1$.
(1)求曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；
(2)若对$\forall x_{1},x_{2}\in[1,e]$，不等式$f(x_{1})\leq g(x_{2})$恒成立，求实数$a$的取值范围.

答案： 解　
(1)$\because f'(x)=\frac{2e(1 - \ln x)}{x^{2}}$，$\therefore f'(1)=2e$， 又$f(1)= - 1$， $\therefore y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y + 1 = 2e(x - 1)$，即$2ex - y - 2e - 1 = 0$.
(2)$\because$对$\forall x_{1},x_{2}\in[1,e]$，不等式$f(x_{1})\leq g(x_{2})$恒成立， $f'(x)=\frac{2e(1 - \ln x)}{x^{2}}$， $\therefore$当$x\in[1,e]$时，$f'(x)\geq0$恒成立，$\therefore f(x)$在$[1,e]$上单调递增， $\therefore f(x)_{\max}=f(e)=1$； $g'(x)=3x^{2}+2ax=x(3x + 2a)$，令$g'(x)=0$，得$x = 0$或$x = -\frac{2a}{3}$； ①当$-\frac{2a}{3}\leq1$，即$a\geq-\frac{3}{2}$时， $g'(x)\geq0$在$[1,e]$上恒成立， $\therefore g(x)$在$[1,e]$上单调递增， $\therefore g(x)_{\min}=g(1)=2 + a$， 由$f(x)_{\max}\leq g(x)_{\min}$得$1\leq2 + a$，解得$a\geq - 1$； ②当$1＜-\frac{2a}{3}＜e$，即$-\frac{3e}{2}＜a＜-\frac{3}{2}$时，若$x\in[1,-\frac{2a}{3})$，则$g'(x)＜0$， 若$x\in(-\frac{2a}{3},e]$，则$g'(x)＞0$， $\therefore g(x)$在$[1,-\frac{2a}{3})$上单调递减，在$(-\frac{2a}{3},e]$上单调递增， $\therefore g(x)_{\min}=g(-\frac{2a}{3})=\frac{4a^{3}}{27}+1＜1$，不满足$f(x)_{\max}\leq g(x)_{\min}$； ③当$-\frac{2a}{3}\geq e$，即$a\leq-\frac{3e}{2}$时， $g'(x)\leq0$在$[1,e]$上恒成立， $\therefore g(x)$在$[1,e]$上单调递减， $\therefore g(x)_{\min}=g(e)=e^{3}+ae^{2}+1$， 由$f(x)_{\max}\leq g(x)_{\min}$得$1\leq e^{3}+ae^{2}+1$，解得$a\geq - e$（舍）. 综上所述，实数$a$的取值范围为$[-1,+\infty)$.