《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例4 (1)(2023·郑州模拟)已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a ＞ 0,b ＞ 0$)的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，则此双曲线的离心率$e$为 ( )
A.2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$\sqrt{3}$ D.$\sqrt{3}$或2
(2)已知双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a ＞ 0,b ＞ 0$)的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，$O$为坐标原点，过$F_1$作$C$的一条渐近线的垂线，垂足为$D$，且$|DF_2| = 2\sqrt{2}|OD|$，则$C$的离心率为 ( )
A.$\sqrt{2}$ B.2 C.$\sqrt{5}$ D.3

答案：
(1)A　[由题意得双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x, 　而两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$, 　故y=$\frac{b}{a}$x 的倾斜角为$\frac{\pi}{3}$或$\frac{\pi}{6}$, 　故$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\sqrt{3}$, 　e=$\sqrt{1+(\frac{b}{a})²}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或2.] 　
(2)C　[如图所示, 　双曲线C的左焦 　点F₁(-c,0), 　|DF₁|=b, 　由勾股定理得 　|OD|=a, 　在Rt△DOF₁中, 　∠ODF₁=$\frac{\pi}{2}$,
　
∴cos∠DOF₁=$\frac{|OD|}{|OF₁|}$=$\frac{a}{c}$， 　在△DOF₂中,|OD|=a， 　|DF₂|=2$\sqrt{2}$a,|OF₂|=c, 　cos∠DOF₂=cos(π-∠DOF₁)= 　-cos∠DOF₁=-$\frac{a}{c}$, 　由余弦定理的推论得cos∠DOF₂= 　$\frac{|OD|²+|OF₂|²-|DF₂|²}{2|OD|·|OF₂|}$=$\frac{a²+c²-8a²}{2ac}$ 　=-$\frac{a}{c}$, 　化简得c²=5a²，即c=$\sqrt{5}$a, 　因此双曲线C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$

跟踪训练3 (1)(2023·全国甲卷)已知双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a ＞ 0,b ＞ 0$)的离心率为$\sqrt{5}$，$C$的一条渐近线与圆$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1$交于$A,B$两点，则$|AB|$等于 ( )
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$ B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ C.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$ D.$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
(2)(2024·海口模拟)设双曲线$E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a ＞ 0,b ＞ 0$)的离心率为$e$，直线$l$过点$(0,b)$和双曲线$E$的一个焦点，若直线$l$与圆$x^2 + y^2 = a^2$相切，则$e^2 =$________.

答案：
(1)D 　
(2)$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ 　解析　　因为直线l过点(0,b)和双曲线E的右焦点F(c,0), 　设直线l的方程为$\frac{x}{c}$+$\frac{y}{b}$=1,即bx +cy-bc=0， 　由直线l与圆x²+y²=a²相切，可得$\frac{|-bc|}{\sqrt{b²+c²}}$=a, 　整理得b²c²=a²(b²+c²)， 　又b²=c²-a², 　所以(c²-a²)c²=a²(2c²-a²), 　即c⁴-3a²c²+a⁴=0， 　所以($\frac{c}{a}$)⁴-3($\frac{c}{a}$)²+1=0， 　即e⁴-3e²+1=0, 　解得e²=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$， 　又e＞1,所以e²＞1,所以e²=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

例1（1）（2023·德阳模拟）已知$F_1,F_2$为椭圆与双曲线的公共焦点，$P$是它们的一个公共点，$\angle F_1PF_2 = 60^{\circ}$，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为 （ ）
A. $2\sqrt{3}$ B. 1 C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D. 2
（2）（2023·襄阳模拟）已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a＞0,b＞0$）的右焦点为$F(2\sqrt{6},0)$，点$A$的坐标为$(0,1)$，点$P$为双曲线左支上的动点，且$\triangle APF$的周长不小于18，则双曲线$C$的离心率的取值范围为_________.

答案： 例1
(1)C　[不妨设|PF:|=m，|PF2|=n(m＞n). 　椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为a2,两曲线的半焦距均为c, 　由椭圆及双曲线的定义得m十n= 　2a1,m-n=2a2, 　于是m=a1+a2,n=a=a2, 　又在△PFF2中，由余孩定理得 m²+n²-2mncos60°=4c²→(a+a2)²+(a-a2)²-(a1+a2)(a1-a2)=4c²,则a+3a²=4c²，得$\frac{1}{ei}$+$\frac{3}{e}$=4, 　由基本不等式得 　4=$\frac{1}{ei}$+$\frac{3}{e}$≥2　$\sqrt{\frac{3}{eie2}}$→ee2≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$,当且仅当e1=$\frac{2}{2}$,e2=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，等号成立，所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.] 　
(2)(1.$\frac{\sqrt{6}}{2}$1 　解析　由右焦点为F(2$\sqrt{6}$,0),点A 的坐标为(0,1)，可得IAF|=　$\sqrt{24+1}$ 　=5. 　因为△APF的周长不小于18，所以|PA|+|PFI的最小值不小于13.设F2为双曲线的左焦点，可得IPF|=|PF2|+2a, 　故|PA|+|PF|=|PA|+|PF2|+2a,当A,P,F2三点共线时，IPA|+|PF2|+2a取最小值，最小值为|AF2|+2a，即5+2a， 　所以5+2a≥13，即a≥4. 　因为C=2√6，所以e=$\frac{C}{a}$　$\frac{2√6}{a}$　$\frac{\sqrt{6}}{2}$ 　又＜＞1,所以c∈(11$\frac{\sqrt{6}}{2}${:

跟踪训练1（2023·宁波模拟）已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a＞b＞0$）的左、右焦点分别为$F_1(-c,0),F_2(c,0)$，若椭圆$C$上存在一点$M$，使得$\triangle MF_1F_2$的内切圆的半径为$\frac{c}{2}$，则椭圆$C$的离心率的取值范围是 （ ）
A. $(0,\frac{3}{5}]$
B. $(0,\frac{4}{5}]$
C. $[\frac{3}{5},1)$
D. $[\frac{4}{5},1)$

答案： 跟踪训练1A