《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练1（1）已知$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{3}{8}$，且$\frac{\pi}{4}＜\alpha＜\frac{\pi}{2}$，则$\cos\alpha-\sin\alpha$的值为 （ ）
A.$\frac{1}{2}$ B.$\pm\frac{1}{2}$ C.$-\frac{1}{4}$ D.$-\frac{1}{2}$
（2）（2023·全国乙卷）若$\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$，$\tan\theta=\frac{1}{2}$，则$\sin\theta-\cos\theta=$________.

答案： （1）D （2）-$\frac{\sqrt{5}}{5}$ 解析　因为0∈(0,/|), 则sinθ＞0.cosθ＞0, 又因为tanθ=$\frac{sinθ}{COS日}$=$\frac{1}{2}$, 则COSθ=2sinθ， 且cos²θ+sin²θ=4sin20+sinθ=5sin²0 =1. 解得sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$或sinθ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$(舍去)，所以sinθ-cOsθ=sinθ-2sinθ= -sinθ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$

例2（1）（2024·安康模拟）若$\sin(\pi+\alpha)=-\frac{4}{5}$，则$\cos(\pi - 2\alpha)$等于 （ ）
A.$\frac{3}{5}$ B.$-\frac{3}{5}$ C.$\frac{7}{25}$ D.$-\frac{7}{25}$
（2）已知$\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})=\frac{12}{13}$，则$\cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)$等于 （ ）
A.$\frac{5}{13}$ B.$\frac{12}{13}$ C.$-\frac{5}{13}$ D.$-\frac{12}{13}$
延伸探究 若把本例（2）中条件换为“$\cos(\frac{\pi}{6}+\alpha)=-\frac{1}{3}$”，那么$\sin(\frac{2\pi}{3}+\alpha)$的值为_______.

答案： （1）C　[
∵sin(π+a)=一$\frac{4}{5}$，
∴sina=$\frac{4}{5}$,
∴C0s(π-2a)=-cOs2a=-(1-2sin²a) =2×($\frac{4}{5}$)²-1=$\frac{7}{25}$.] （2）B　[因为sin(α+/)=$\frac{12}{13}$, 所以(α)=sin[(。){{　　=sin(a+/|)=$\frac{12}{13}$.]
@@-$\frac{1}{3}$ 解析　因为cos(+a)=-$\frac{1}{3}$， 所以in(+α)=sin($\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$+a) =cos(+a)=-$\frac{1}{3}$:

跟踪训练2（1）化简：$\frac{\sin(\theta - 5\pi)\cos(-\frac{\pi}{2}-\theta)\cos(8\pi-\theta)}{\sin(\theta-\frac{3\pi}{2})\sin(-\theta - 4\pi)}$等于（ ）
A.$-\sin\theta$ B.$\sin\theta$
C.$\cos\theta$ D.$-\cos\theta$
（2）已知$\cos(x-\frac{\pi}{3})=\frac{3}{5}$，则$\cos(\frac{4\pi}{3}-x)$等于 （ ）
A.$-\frac{4}{5}$ B.$-\frac{3}{5}$ C.$\frac{3}{5}$ D.$\frac{4}{5}$

答案： （1）A （2）B　[cos((x) =cos[π-(x-$\frac{π}{3}$){ =-cos(x-/)=一$\frac{3}{5}$.]

例3（1）已知$\alpha$为锐角，且$2\tan(\pi-\alpha)-3\cos(\frac{\pi}{2}+\beta)+5 = 0,\tan(\pi+\alpha)+6\sin(\pi+\beta)-1 = 0$，则$\sin\alpha$的值是 （ ）
A.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ B.$\frac{2\sqrt{7}}{7}$ C.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$ D.$\frac{1}{3}$
（2）已知$-\pi＜x＜0$，$\sin(\pi + x)-\sin(\frac{\pi}{2}-x)=-\frac{1}{5}$，则$\frac{\sin2x + 2\sin^{2}x}{1-\tan x}$的值为________.

答案： （1）C （2）-$\frac{24}{175}$ 解析　由已知得sinx+cosx=$\frac{1}{5}$，两边平方得sin²x+2sinrcosx+ COs²x=$\frac{1}{25}$整理得22inxoosI=一$\frac{24}{25}$,
∴(sinx-cosx)²=1-2sinrcosx =$\frac{49}{25}$. 由-π＜x＜0知,sinx＜0, 又sinxcosx=-$\frac{12}{25}$＜0,
∴cosx＞0.
∴sinx-cosx＜0,
∴sinx-cosx=-$\frac{7}{5}$
∴$\frac{sin2x+2sin}{1-tan}$=$\frac{2sinx(cosx+sinx)}{sinx}$ 　　　　　　　　　　　一$\frac{sinx}{COSx}$ =$\frac{2sinxcosx(cosx+sinx)}{cOsx-sinx}$ 　　　一$\frac{24}{25}$　$\frac{1}{5}$ =$\frac{255}{7}$=一$\frac{24}{175}$. 　　　　$\frac{7}{5}$

跟踪训练3（1）（2024·榆林模拟）已知$\tan(\alpha-\pi)=\frac{1}{3}$，则$\frac{2\cos(\alpha-\frac{\pi}{2})+\sin(\alpha+\pi)}{\sin(\alpha+\frac{3\pi}{2})}$等于 （ ）
A.$\frac{1}{3}$ B.$3$ C.$-\frac{1}{3}$ D.$-3$
（2）（多选）下列结论中，正确的是 （ ）
A.$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$成立的条件是角$\alpha$是锐角
B.若$\cos(n\pi-\alpha)=\frac{1}{3}(n\in\mathbf{Z})$，则$\cos\alpha=\frac{1}{3}$
C.若$\alpha\neq\frac{k\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$，则$\tan(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\frac{1}{\tan\alpha}$
D.若$\sin\alpha+\cos\alpha = 1$，则$\sin^{n}\alpha+\cos^{n}\alpha = 1$

答案： （1）C　（2）CD