《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1（2023·信阳统考）已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，当$x＞0$时，$xf'(x)-f(x)＜0$，且$f(-2)=0$，则不等式$\frac{f(x)}{x}＞0$的解集是（ ）
A. $(-2,0)\cup(0,2)$
B. $(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$
C. $(-2,0)\cup(2,+\infty)$
D. $(-\infty,-2)\cup(0,2)$

答案： 因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(-x)=f(x). 因为g(-x)=f(-x)=-£(x) 　　　　　　　　二x　　　　x 　=一g(x)， 　所以g(x)为奇函数， 　所以g(-2)=-g
(2). 　因为f(-2)=0， 　所以g(-2)=g
(2)=0. 　当x＞0时，g'(x)=$\frac{xf(x)-f(x)}{x²}$ 　＜0, 　所以g(x)在(0，+8。)上单调递减， 　此时不等式$\frac{f(x)}{x}$＞0的解集是(0.2). 　因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以g(x)在(-80,0)上单调递减所以当x＜0时，不等式∮((x)＞0的x 　解集是(-8。，-2). 　综上所述，不等式fS)＞0的解集是(-∞,-2)U(0,2).

跟踪训练1（多选）（2023·郴州统考）已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，当$x＞0$时，$xf'(x)+2f(x)＞0$恒成立，则（ ）
A. $f(1)＜4f(2)$
B. $f(-1)＜4f(-2)$
C. $16f(4)＜9f(3)$
D. $4f(-2)＞9f(-3)$

答案： 跟踪训练1AD

例2（2024·吉安模拟）已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x)＜f'(x)-2$，则（ ）
A. $f(2 023)-ef(2 022)＜2(e - 1)$
B. $f(2 023)-ef(2 022)＞2(e - 1)$
C. $f(2 023)-ef(2 022)＞2(e + 1)$
D. $f(2 023)-ef(2 022)＜2(e + 1)$

答案： 例2B　[令g(x)=f(x)+2, 　则g,(x)=()|　　一yo, 　　　　　　　　e 　因此函数g(x)是增函数， 　于是得g
(2023)＞g
(2022)， 　即$\frac{(2023)+2}{e²023}$＞$\frac{(2022)+2}{e²022}$, 　整理得∮
(2023)-ef
(2022)＞2(e-1)，故B正确]

跟踪训练2（2023·南昌模拟）已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x)+f'(x)＞0$，且有$f(3)=3$，则$f(x)＞3e^{3 - x}$的解集为_______.

答案： 跟踪训练2(3，+8)

例3 设$f(x)$是定义在$(-\pi,0)\cup(0,\pi)$上的奇函数，其导函数为$f'(x)$，且当$x\in(0,\pi)$时，$f'(x)\sin x - f(x)\cos x＜0$，则关于$x$的不等式$f(x)＜2f(\frac{\pi}{6})\sin x$的解集为_____________.

答案： 例3(,0)U(烹,π) 　解析　令g(x)=$\frac{f(x)}{sin}$,x∈(-π,0) 　U(0.π), 　则g'(x)=$\frac{f'(x)sinx-f(x)cosx}{sin²x}$,
∵当x∈(0,π)时， 　f'(x)sinx-f(x)cosx＜0,
　
∴在(0,π)上,g'(x)＜0，
　
∴函数g(x)在(0，π)上单调递减
　
∵y=∮(x),y=sinx是奇函数，
　
∴函数g(x)是偶函数，
　
∴函数g(x)在(一π，0)上单调递增.当x∈(0,π)时，sinx＞0, 　则不等式f(x)＜2f(/)sinx可化f($\frac{π}{6}$) 　为fsi(nxx)＜sin$\frac{π}{6}$, 　即g(x)＜g(),
∴＜x＜π; 　当x∈(一π，0)时，sinx＜0，则不等式f(x)＜2f($\frac{π}{6}$)sinx可化为 　　　　f($\frac{π}{6}$)　　　　$\frac{π}{6}$ 　$\frac{f(x)}{sin}$＞　　　　=　　　　　, 　　　　sin 　　　　　　　　$\frac{(-1/2)}{(V/2)}$ 　即g((x)＞(/),
　
∴6π＜x＜0. 　综上可得，不等式的解集为(,0)U(,π).

跟踪训练3 已知定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$，其导函数为$f'(x)$，且当$x\in(0,+\infty)$时，$f'(x)\sin x + f(x)\cos x＜0$，若$a=\frac{\sqrt{2}}{2}f(-\frac{\pi}{6})$，$b=-f(\frac{\pi}{4})$，则$a$与$b$的大小关系为_______.（用“＜”连接）

答案： 跟踪训练3a＜b