《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例2 (1)(2024·濮阳模拟)函数$f(x)=\frac{6^{x}-6^{-x}}{|4x^{2}-1|}$的大致图象为 ( )

(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间$[-3，3]$上的大致图象，则该函数是 ( )

A.$y=\frac{-x^{3}+3x}{x^{2}+1}$
B.$y=\frac{x^{3}-x}{x^{2}+1}$
C.$y=\frac{2x\cos x}{x^{2}+1}$
D.$y=\frac{2\sin x}{x^{2}+1}$

答案：
(1)C　[由题意知函数f(x)的定义域为$\{x|x\neq\pm\frac{1}{2}\}$, 　因为f(-x)=$\frac{6^{-x}-6^{x}}{|4x^{2}-1|}$=-f(x),所以f(x)为奇函数，故排除A; 　因为f
(1)=$\frac{35}{18}$＞0,故排除B; 　因为f
(2)=$\frac{259}{108}$＞$\frac{35}{18}$=f
(1)，故排除D.] 　
(2)A　[对于选项B,当x=1时，y=0.与图象不符，故排除B;对于选项D.当x=3时，y=$\frac{2}{5}$sin3＞0.与图象不符，故排除D;对于选项C,当0＜x ＜$\frac{\pi}{2}$时,0＜cosx＜1，故y=$\frac{2x\cos x}{x^{2}+1}$＜$\frac{2x}{x^{2}+1}$≤1.与图象不符，故排除C.]

跟踪训练2 (1)函数$f(x)=(\frac{2}{1 + e^{x}}+1)\sin x$的部分图象为 ( )

(2)已知函数$f(x)=\begin{cases}-2x(-1\leqslant x\leqslant0)\\\sqrt{x}(0 ＜ x\leqslant1)\end{cases}$，则下列图象错误的是 ( )

答案：
(1)D　
(2)D

例3 (多选)(2023·聊城模拟)关于函数$f(x)=|\ln|2 - x||$，下列描述正确的有 ( )
A.函数$f(x)$在区间$(1，2)$上单调递增
B.函数$y = f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称
C.若$x_{1}\neq x_{2}$，但$f(x_{1})=f(x_{2})$，则$x_{1}+x_{2}=2$
D.函数$f(x)$有且仅有两个零点

答案： ABD　[由函数y=lnx，将x轴下方图象翻折到上方可得函数y=｜lnx｜的图象，将y轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数y=|ln|x||=$\begin{cases}\ln x,x\gt0\\\ln (-x),x\lt0\end{cases}$的图象，将函数图象向右平移2个单位长度，可得函数y=|ln|2 - x||的图象，则函数f(x)=|ln|2 - x||的图象如图所示. 　由图可得函数f(x)在区间(1,2)上单调递增，故A正确; 函数y=f(x)的图象关于直线x=2 对称，故B正确; 　若x₁≠x₂，但f(x₁)=f(x₂)，则x₁,x₂关于直线x=2对称,则x₁+x₂=4,故C错误; 　函数f(x)有且仅有两个零点，故D 正确]

例4 (2023·商丘联考)已知定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$在$[0，+\infty)$上的图象如图所示，则不等式$x^{2}f(x)＞2f(x)$的解集为 ( )

A.$(-\sqrt{2}，0)\cup(\sqrt{2}，2)$
B.$(-\infty，-2)\cup(2，+\infty)$
C.$(-\infty，-2)\cup(-\sqrt{2}，0)\cup(\sqrt{2}，2)$
D.$(-2，-\sqrt{2})\cup(0，\sqrt{2})\cup(2，+\infty)$

答案： C　[根据奇函数的图象特征，作出f(x)在$(-\infty,0)$上的图象，如图所示， 　由x²f(x)＞2f(x)，得(x²-2)f(x)＞0.则$\begin{cases}x^{2}-2\gt0\\f(x)\gt0\end{cases}$或$\begin{cases}x^{2}-2\lt0\\f(x)\lt0\end{cases}$，解得x＜-2或$\sqrt{2}$＜x＜2或-$\sqrt{2}$＜x ＜0，故不等式的解集为$(-\infty,-2)\cup (-\sqrt{2},0)\cup(\sqrt{2},2)$.]

例5 (2023·保定联考)已知函数$f(x)=\begin{cases}|3^{x + 1}-1|，x\leqslant0\\\ln x，x ＞ 0\end{cases}$，若函数$g(x)=f(x)-a$有三个零点，则$a$的取值范围是 ( )
A.$(0，1)$
B.$(0，2]$
C.$(2，+\infty)$
D.$(1，+\infty)$

答案： A　[要使函数g(x)=f(x)-a 有三个零点，则f(x)=a有三个不相等的实根，即y=f(x)与y=a的图象有三个交点，当x≤-1时，f(x)=1 - 3^{x + 1}在$(-\infty,-1]$上单调递减,f(x)∈[0,1); 　当-1＜x≤0时，f(x)=3^{x + 1}-1在(-1,0]上单调递增，f(x)∈(0,2];当x＞0时，f(x)=lnx 在$(0，+\infty)$上单调递增，f(x)∈R.作出函数f(x)的图象，如图所示. 　由y=f(x)与y=a的图象有三个交点，结合函数图象可得a∈(0,1).]