《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练3 (1)(多选)已知$1\leqslant a\leqslant2$，$3\leqslant b\leqslant5$，则（ ）
A. $a + b$的取值范围为$[4,7]$
B. $b - a$的取值范围为$[2,3]$
C. $ab$的取值范围为$[3,10]$
D. $\frac{a}{b}$的取值范围为$\left[\frac{1}{3},\frac{2}{5}\right]$
(2)已知$2＜x＜4$，$-3＜y＜-1$，则$\frac{x}{x - 2y}$的取值范围是（ ）
A. $\left(\frac{1}{10},\frac{1}{4}\right)$ B. $\left(\frac{1}{4},\frac{2}{3}\right)$
C. $\left(\frac{1}{5},1\right)$ D. $\left(\frac{2}{3},2\right)$

答案：
(1)AC 　
(2)B　[原式分子和分母同时除以$x$，得$\frac{x}{x - 2y} = \frac{1}{1 - \frac{2y}{x}}$， 　由条件得$2 ＜ -2y ＜ 6$，$\frac{1}{4} ＜ \frac{1}{x} ＜ \frac{1}{2}$，所以$\frac{2}{4} ＜ -\frac{2y}{x} ＜ \frac{6}{2}$，即$\frac{1}{2} ＜ -\frac{2y}{x} ＜ 3$，所以$\frac{3}{2} ＜ 1 - \frac{2y}{x} ＜ 4$， 　所以$\frac{1}{4} ＜ \frac{1}{1 - \frac{2y}{x}} ＜ \frac{2}{3}$。]

1. 基本不等式：$\sqrt{ab}\leq\frac{a + b}{2}$

（1）基本不等式成立的条件：____________.
-
（2）等号成立的条件：当且仅当____________时，等号成立.
-
（3）其中____________叫做正数$a$，$b$的算术平均数，____________叫做正数$a$，$b$的几何平均数.

答案： a＞0，b＞0
@@a = b
@@$\frac{a + b}{2}$；$\sqrt{ab}$

2. 利用基本不等式求最值

（1）已知$x$，$y$都是正数，如果积$xy$等于定值$P$，那么当$x = y$时，和$x + y$有最小值__________.
-
（2）已知$x$，$y$都是正数，如果和$x + y$等于定值$S$，那么当$x = y$时，积$xy$有最大值__________.

答案： $2\sqrt{P}$
@@$\frac{1}{4}S^{2}$

1. 判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）不等式$ab\leq(\frac{a + b}{2})^{2}$与$\sqrt{ab}\leq\frac{a + b}{2}$等号成立的条件是相同的. （ ）
（2）$y = x+\frac{1}{x}$的最小值是 2. （ ）
（3）若$x\gt0$，$y\gt0$且$x + y = xy$，则$xy$的最小值为 4. （ ）
（4）函数$y = \sin x+\frac{4}{\sin x}$，$x\in(0,\frac{\pi}{2})$的最小值为 4. （ ）

答案： （1）×　（2）×　（3）√　（4）×

2. （必修第一册 P48 习题 T1（1）改编）若函数$f(x)=x+\frac{1}{x - 2}(x\gt2)$在$x = a$处取最小值，则$a$等于（ ）

A. $1+\sqrt{2}$
B. $1+\sqrt{3}$
C. 3
D. 4

答案： C

4. （2023·重庆模拟）已知$x\gt0$，$y\gt0$，$x + y = 1$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为________.

答案： 4