《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

1. 设$x＞0$，$y＞0$，若$e^{x}+\ln y＞x + y$，则下列选项正确的是 （ ）
A. $x＞y$
B. $x＞\ln y$
C. $x＜y$
D. $x＜\ln y$

答案： 1.B

2. 若$e^{x}-ax\geqslant - x+\ln(ax)$，则正实数$a$的取值范围为 （ ）
A. $(0,\frac{1}{e})$
B. $(0,e]$
C. $(\frac{1}{e},+\infty)$
D. $(e,+\infty)$

答案： 2.B

3. 已知函数$f(x)=x^{2}e^{x}-a(x + 2\ln x)$有两个零点，则$a$的取值范围是 （ ）
A. $a\geqslant1$
B. $a\leqslant2$
C. $a\leqslant e$
D. $a＞e$

答案： 3.D

4. （多选）若不相等的正数$a$，$b$满足$a^{a}=b^{b}$，则（ ）
A. $a＞1$
B. $b＜1$
C. $a + b＞\frac{2}{e}$
D. $(\frac{n + 1}{n})^{\frac{n + 1}{n}}＞(\frac{n + 2}{n + 1})^{\frac{n + 2}{n + 1}}$（$n\in\mathbf{N}^{*}$）

答案： 4.BCD　[由a°=b²,得alna=blnb,令f(x)=x1nx，f(x)=1nx+1=0，解得x=$\frac{1}{e}$, 　当x∈($\frac{1}{e}$,+0)时,f,(x)＞0; 　当x∈(0,$\frac{1}{e}$)时，f,(x)＜0. 　所以f(x)在(0,$\frac{1}{e}$)上单调递减，在($\frac{1}{e}$,+∞)上单调递增。 　所以0＜a＜1,0＜b＜1，故A不正确， B正确; 　要证明a+b＞$\frac{2}{e}$, 　即证明6＞$\frac{2}{e}$-a(0＜a＜$\frac{1}{e}$＜b＜1):只需证f(b)＞s($\frac{2}{e}$-a): 　只需证f(a)＞f($\frac{2}{e}$-a): 　令g(x)=f(x)-f($\frac{2}{e}$-x)=x1nx -($\frac{2}{e}$-x)in($\frac{2}{e}$-x),0＜x＜$\frac{1}{e}$,g'(x)=1nx+1+in($\frac{2}{e}$-x)+1= 　1n[x($\frac{2}{e}$-x)]+22＜0, 　所以g(x)在(o,$\frac{1}{e}$)上单调递减，所以g(x))＞g($\frac{1}{e}$)=0, 所以a+b＞$\frac{2}{e}$，故C正确; 　由于f(x)在(1，+8。)上单调递增，而$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{n+2}{n+1}$, 　所以f($\frac{n+1}{n}$)＞f($\frac{n+2}{n+1}$), 　所以$\frac{n+1}{n}$1n$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{n+2}{n+1}$1n$\frac{n+2}{n+1}$, 　所以($\frac{n+1}{n}$)＞($\frac{n+2}{n+1}$)(n∈N)，故D正确.]

5. 若$\forall x\in(0,+\infty)$，$\ln 2x-\frac{a e^{x}}{2}\leqslant\ln a$恒成立，则$a$的取值范围为____________________.

答案： 5.[$\frac{2}{e}$,+0) 　解析　依题意，In2x-$\frac{ae}{2}$≤1na 　自1n2工-1na≤$\frac{ae}{2}$ 　21n$\frac{2.}{a}$≤aer 　$\frac{2}{a}$1n$\frac{2.}{a}$≤ex1ne'.
　
∵x＞0,a＞0,
　
∴若0＜$\frac{2.}{a}$≤1,显然成立，此时满足$\frac{2}{a}$≤1＜e; 　若$\frac{2.}{a}$＞1,令f(x)=x1nx，f(x)= 　1nx+1＞0在(1,+∞)上恒成立，
　
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增， 　而$\frac{2}{a}$1n$\frac{2.}{a}$≤e1ne',
∴$\frac{2}{a}$≤eI. 　综上，$\frac{2.}{a}$≤e在(0,+∞)上恒成立，
∴a≥$\frac{2}{e}$ 　令g(x)=$\frac{2}{e}$,g'(x)=$\frac{2-2}{e}$，
　
∴当0＜x＜1时，g'(x)＞0,g(x)单调递增;当x＞1时，g′(x)＜0,g(x) 　单调递减
　
∴g(x)≤g
(1)=$\frac{2}{e}$，即a≥$\frac{2}{e}$

6. （2024·漳州质检）已知函数$f(x)=a e^{x}+x + 1$.
（1）讨论$f(x)$的单调性；
（2）当$x＞1$时，$f(x)＞\ln\frac{x - 1}{a}+x$，求实数$a$的取值范围.

答案： 6.解　
(1)依题意，得f¹(x)=ae²+1.当a≥0时，∮,(x)＞0, 　所以f(x)在R上是增函数. 　当a＜0时，令∮(x)＞0，可得x＜-1n(一a); 　令f,(x)＜0，可得x＞-1n(-a)， 　所以∮(x)在(-0,-1n(一a))上单调递增，在(-ln(一a)，+8口)上单调递减 　综上所述，当a≥0时，f(x)在R上是增函数;当a＜0时，∮(x)在(-0,-1n(一a))上单调递增，在(-1n(-a)，+(8口)上单调递减 　
(2)因为当x＞1时， 　∮(x)＞1n$\frac{x-l}{a}$+x， 　所以aer+x+1＞1n$\frac{x-1}{a}$+x， 　即e。e+x+1＞in(x-1)-1na+x，即e+lna+1na+x＞in(x-1)+x-1，即e+x+1na＞ea|¹)+ln(x-1).令h(x)=ex+x，则有h(x+1na)＞h(ln(x-1))对x∈(1,+∞)恒成立。因为h'(x)=er+1＞0, 　所以h(x)在R上是增函数， 　故只需x+1na＞1n(x-1)， 即1na＞1n(x-1)-x对Wx∈(1,十8。)恒成立. 令F(x)=1n(x-1)-x， 则F,(x)=$\frac{1}{x-1}$-1=$\frac{2-}{x-1}$， 令F(x)=0，得x=2. 当x∈(1,2)时,F'(x)＞0，当x∈(2,+8)时，F'(x)＜0, 所以F(x)在(1,2)上单调递增，在(2,+80)上单调递减， 所以F(x)≤F
(2)=-2. 因此Ina＞-2,所以a＞$\frac{1}{e²}$

例1 已知函数$f(x)=e^{x}-ax - 1$.
(1)当$a = 1$时，求$f(x)$的单调区间与极值；
(2)若$f(x)\leq x^{2}$在$(0,+\infty)$上有解，求实数$a$的取值范围.

答案： 解　
(1)当$a = 1$时， $f(x)=e^{x}-x - 1$， 所以$f'(x)=e^{x}-1$， 当$x＜0$时，$f'(x)＜0$；当$x＞0$时，$f'(x)＞0$. 所以$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增， 所以当$x = 0$时，函数$f(x)$有极小值$f(0)=0$，无极大值. 即$f(x)$的单调递减区间为$(-\infty,0)$，单调递增区间为$(0,+\infty)$，极小值为$0$，无极大值.
(2)因为$f(x)\leq x^{2}$在$(0,+\infty)$上有解，所以$e^{x}-x^{2}-ax - 1\leq0$在$(0,+\infty)$上有解， 当$x＞0$时，不等式等价于$a\geq\frac{e^{x}}{x}-(x+\frac{1}{x})$在$(0,+\infty)$上有解， 令$g(x)=\frac{e^{x}}{x}-(x+\frac{1}{x})$， 则$g'(x)=\frac{e^{x}(x - 1)}{x^{2}}-(\frac{x^{2}-1}{x^{2}})=\frac{(x - 1)(e^{x}-x - 1)}{x^{2}}$， 由
(1)知当$a = 1$，$x＞0$时，$f(x)＞f(0)=0$，即$e^{x}-(x + 1)＞0$， 所以当$0＜x＜1$时，$g'(x)＜0$；当$x＞1$时，$g'(x)＞0$， 所以$g(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增， 所以当$x = 1$时，$g(x)_{\min}=e - 2$， 所以$a\geq e - 2$， 综上可知，实数$a$的取值范围是$[e - 2,+\infty)$.