《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

1. 向量的夹角
已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$O$是平面上的任意一点，作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，则____________$=\theta$（$0\leqslant\theta\leqslant\pi$）叫做向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角.

答案： ∠AOB

2. 平面向量的数量积
已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$，它们的夹角为$\theta$，我们把数量____________叫做向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的数量积，记作____________.

答案： |a||b|cosθ　a▪b

3. 平面向量数量积的几何意义
设$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是两个非零向量，它们的夹角是$\theta$，$\boldsymbol{e}$是与$\boldsymbol{b}$方向相同的单位向量，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{b}$，过$\overrightarrow{AB}$的起点$A$和终点$B$，分别作$\overrightarrow{CD}$所在直线的垂线，垂足分别为$A_1$，$B_1$，得到$\overrightarrow{A_1B_1}$，我们称上述变换为向量$\boldsymbol{a}$向向量$\boldsymbol{b}$____________，$\overrightarrow{A_1B_1}$叫做向量$\boldsymbol{a}$在向量$\boldsymbol{b}$上的____________. 记为____________.

答案： 投影　投影向量　|a|cosθe

4. 向量数量积的运算律
(1)$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$____________.
(2)$(\lambda\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}=$____________$=$____________.
(3)$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=$____________.

答案：
(1)b.a　
(2)λ(a▪b)　a▪(xb)
(3)a.c+b.c

5. 平面向量数量积的有关结论
已知非零向量$\boldsymbol{a}=(x_1,y_1)$，$\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)$，$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$.

答案： x1x2+yy2　$\sqrt{a.a}$ $\sqrt{x+yi}$ $\frac{a▪b}{a｜b|}$ $\frac{Ix+yy}{\sqrt{x+yi}\sqrt{x+y}}$ xx2+y1y2=0

1. 判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
(1)两个向量的夹角的范围是$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$. （ ）
(2)若$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$共线，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\vert\boldsymbol{a}\vert\cdot\vert\boldsymbol{b}\vert$. （ ）
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量. （ ）
(4)若$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$. （ ）

答案：
(1)×　
(2)×　
(3)√　
(4)×