《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1 (1)已知$x＞0,y＞0$，且$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，若$2x + y ＜ m^{2}-8m$有解，则实数$m$的取值范围为 （ ）
A.$(-\infty,-1)\cup(9,+\infty)$
B.$(-\infty,-1]\cup[9,+\infty)$
C.$(-9,-1)$
D.$[-9,1]$
(2)若对于任意的$x＞0$，不等式$\frac{x^{2}+3x + 1}{x}\geq a$恒成立，则实数$a$的取值范围为 （ ）
A.$[5,+\infty)$
B.$(5,+\infty)$
C.$(-\infty,5]$
D.$(-\infty,5)$

答案：
(1)A　[因为$x＞0,y＞0$，且$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，所以$2x + y = (2x + y)(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}) = 5 + \frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}\geq5 + 2\sqrt{\frac{2x}{y}\cdot\frac{2y}{x}} = 9$，当且仅当$\frac{2x}{y}=\frac{2y}{x}$，且$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，即$x = y = 3$时取等号，此时$2x + y$取得最小值$9$。若$2x + y ＜ m^{2}-8m$有解，则$9 ＜ m^{2}-8m$，解得$m ＞ 9$或$m ＜ -1$，即实数$m$的取值范围为$(-\infty,-1)\cup(9,+\infty)$。]
(2)C　[令$f(x)=\frac{x^{2}+3x + 1}{x}$，由题意可得$a\leq f(x)_{\min}$。$f(x)=x + \frac{1}{x}+3\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}} + 3 = 5$，当且仅当$x = \frac{1}{x}$，即$x = 1$时等号成立，所以$a\leq f(x)_{\min}=5$，所以实数$a$的取值范围为$(-\infty,5]$。]

跟踪训练1 (1)对任意的$x\in(-\infty,0)$，$x^{2}-mx + 1＞0$恒成立，则$m$的取值范围为（ ）
A.$\{m|-2＜m＜2\}$ B.$\{m|m＞2\}$
C.$\{m|m＞-2\}$ D.$\{m|m\leq -2\}$
(2)(2023·忻州模拟)已知$a^{2}+b^{2}=k$，若$\frac{4}{a^{2}}+\frac{9}{b^{2}+1}\geq 1$恒成立，则$k$的最大值为 （ ）
A.4 B.5 C.24 D.25

答案：
(1)C
(2)C　[
∵$a^{2}+b^{2}=k$，
∴$a^{2}+(b^{2}+1)=k + 1$，
∴$(k + 1)(\frac{4}{a^{2}}+\frac{9}{b^{2}+1})=[a^{2}+(b^{2}+1)](\frac{4}{a^{2}}+\frac{9}{b^{2}+1})=\frac{4(b^{2}+1)}{a^{2}}+\frac{9a^{2}}{b^{2}+1}+13\geq2\sqrt{\frac{4(b^{2}+1)}{a^{2}}\cdot\frac{9a^{2}}{b^{2}+1}}+13 = 25$，当且仅当$\frac{4(b^{2}+1)}{a^{2}}=\frac{9a^{2}}{b^{2}+1}$，即$3a^{2}=2(b^{2}+1)=\frac{6}{5}(k + 1)$时等号成立，即$\frac{4}{a^{2}}+\frac{9}{b^{2}+1}\geq\frac{25}{k + 1}$。由题意可得$\frac{25}{k + 1}\geq 1$，又$k＞0$，解得$0＜k\leq 24$，故$k$的最大值为$24$。]

例2 第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为$x$元时，销售量可达到$(15 - 0.1x)$万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润 = 售价 - 供货价格.

(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元?
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大? 最大值是多少元?

答案： 解　
(1)每套会徽及吉祥物售价为$100$元时，销售量为$15 - 0.1×100 = 5$（万套），供货单价为$50 + \frac{10}{5} = 52$（元），总利润为$5×(100 - 52) = 240$（万元）。所以能获得的总利润为$240$万元。
(2)每套会徽及吉祥物售价为$x$元时，销售量为$(15 - 0.1x)$万套，供货单价为$(50 + \frac{10}{15 - 0.1x})$元，单套利润为$x - 50 - \frac{10}{15 - 0.1x}=x - 50 - \frac{100}{150 - x}$。因为$15 - 0.1x＞0$，所以$0＜x＜150$，所以单套利润为$y = x - 50 - \frac{100}{150 - x}=-[(150 - x) + \frac{100}{150 - x}]+100\leq100 - 2\sqrt{(150 - x)\cdot\frac{100}{150 - x}} = 80$，当且仅当$150 - x = 10$，即$x = 140$时取等号。所以每套会徽及吉祥物售价为$140$元时，单套的利润最大，最大值是$80$元。