《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练1 (1)(2023·郴州检测)已知函数$f(x)= - x^{2}+bx + c$，且$f(x + 1)$是偶函数，则$f( - 1)$，$f(1)$，$f(2)$的大小关系是（ ）
A. $f( - 1)\lt f(1)\lt f(2)$ B. $f(1)\lt f(2)\lt f( - 1)$ C. $f(2)\lt f( - 1)\lt f(1)$ D. $f( - 1)\lt f(2)\lt f(1)$
(2)(2023·银川模拟)已知函数$f(x)(x\in\mathbf{R})$满足$f(4 + x)=f( - x)$，若函数$y = |x^{2}-4x - 5|$与$y = f(x)$图象的交点为$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$，$\cdots$，$(x_{m},y_{m})$，则所有交点的横坐标之和为（ ）
A. $0$ B. $m$ C. $2m$ D. $4m$

答案：
(1)D　
(2)C

例2 (1)(多选)下列说法中，正确的是（ ）
A. 函数$f(x)=\frac{2x - 1}{x + 2}$的图象关于点$( - 2,2)$中心对称
B. 函数$f(x)$满足$f(2x - 1)$为奇函数，则函数$f(x)$关于点$( - 1,0)$中心对称
C. 若函数$y = f(x)$过定点$(0,1)$，则函数$y = f(x - 1)+1$过定点$(1,2)$
D. 函数$y=\frac{x - 1}{x - b}$的图象关于点$(3,c)$中心对称，则$b + c = 2$
(2)(2024·南京模拟)已知函数$y = f(x)$的图象既关于直线$x = 1$对称，又关于点$(2,0)$对称，且当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\frac{x}{2024}$，则$f(2024)$等于（ ）
A. $\frac{3}{2024}$ B. $\frac{1}{2024}$ C. $\frac{1}{1012}$ D. $0$

答案：
(1)ABC　[对于A,∮(x)=$\frac{2.x-1}{x+2}$ 　=$\frac{2(x+2)-5}{x+2}$=2-$\frac{5}{x+2}$,其图象可以由y　　　x5的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y=-$\frac{5}{x}$的图象关于原点对称，故f(x)=$\frac{2.-1}{r+2}$的图象关于点(-2,2)中心对称，A正确; 　对于B，因为∮(2x-1)为奇函数，所以f(2.x-1)=-f(-2x-1)，所以f(x-1)=-∮(一x-1)， 　所以f(x)=-f(　x-2)，所以函数f(x)关于点(-1.0)中　心对称,B正确; 　　　　　　　　$\frac{x}{中}$ 　对于C,函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y=f(x-1)+1的图象，由于y=f(x)过定点(0,1)，故函数y=f(x-1)+1过定点(1,2),C 正确; 　对于D,函数y=$\frac{x-1}{x-b}$=$\frac{(x-b)+b-1}{x-b}$ 　=1+$\frac{b-1}{x-b}$的图象关于点(3，C)中心对称， 　所以{3C-=b1,=0.解得b=3,c=1， 　所以6+c=4,D不正确] 　
(2)D　[因为函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称， 　所以f(一x)=f(2+x), 　因为函数y=∮(x)的图象关于点(2,0) 　对称， 　所以∮(-x)=-∮(4+x), 　所以∮(x+2)+∮(x+4)=0， 所以f(x)-f(x+4)=0， 　即f(x)=f(x+4)， 　所以函数f(x)的周期为4， 　所以f
(2024)=f(4×506+0)= 　∮
(0)=0.]

跟踪训练2(1)(2023·扬州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且

f(x+1)为奇函数,则使得不等式,f＜f(2-2x)成立的实数x的取值范围是

(            )

A.(-1,2)

B.(-∞,-1)U(2,+∞)

C.(-2,1)

D.(-∞,-2)U(1,+∞)

(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)=+的图象关于点(1,0)对称,则b等于

A.-3

B.-1

C.1

D. 3

答案： 跟踪训练2
(1)D 　
(2)C　[
∵f(x)的图象关于点(1,0) 　对称，
∴f(x)+f(2-x)=0， 　又f(2-x)=(2-x)³+a(2-x)²+(2-x)+b=-x³+(a+6)x²-(4a +13)x+10+4a+b,
　
∴f(x)+f(2-x)=(2a+6)x²-(4a+12)x+10+4a+2b=0， 　　2a+6=0,
　
∴{4a+12=0,　　解得{=13,]10+4a+2b=0，

例3 已知函数$y = f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的函数，则函数$y = f(x + 2)$与$y = f(4 - x)$的图象（ ）
A. 关于直线$x = 1$对称
B. 关于直线$x = 3$对称
C. 关于直线$y = 3$对称
D. 关于点$(3,0)$对称

答案： A　[设P(x。,y。)为y=f(x+2) 　图象上任意一点， 　则y。=f(x。+2)=∮(4-(2-x))),所以点Q(2-x。,y。)在函数y= 　∮(4-x)的图象上， 　而点P(x。，y。)与点Q(2-x。,y。)关于直线x=1对称， 　所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x) 　的图象关于直线x=1对称.]

跟踪训练3 下列函数与$y = e^{x}$的图象关于直线$x = 1$对称的是（ ）
A. $y = e^{x - 1}$
B. $y = e^{1 - x}$
C. $y = e^{2 - x}$
D. $y = \ln x$

答案： C