《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1 设$a = (\frac{4}{3})^{\frac{2}{3}},b = (\frac{4}{3})^{\frac{1}{3}},c = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}$，则$a,b,c$的大小关系是 （ ）
A. $a＞c＞b$
B. $a＞b＞c$
C. $c＞b＞a$
D. $b＞c＞a$

答案： 又因为函数y=x为增函数, 　所以($\frac{4}{3}$)＜($\frac{3}{2}$)÷即b＜＜, 　故c＞b＞a.]

例2 （2023·昆明模拟）设$a = e^{\frac{1}{3}},b = \ln\sqrt{2}-\frac{1}{3}\ln3$，$c = \pi^{\frac{1}{3}}$，则$a,b,c$的大小关系是 （ ）
A. $a＞c＞b$
B. $c＞a＞b$
C. $c＞b＞a$
D. $a＞b＞c$

答案： 例2B　[因为b=1n2-$\frac{1}{3}$In3=$\frac{ln2}{2}$ 　　　　　　　　　　$\frac{8}{9}$ 　一$\frac{ln3}{3}$=$\frac{3ln2-2ln3}{6}$=$\frac{9}{6}$＜$\frac{ln1}{6}$=0.而a=e²1＞0,c=πī1＞0,所以b最小.又ina=Ine÷=$\frac{1}{π}$＜$\frac{1}{e}$.1nc=1nπ=$\frac{1}{e}$1nπ＞$\frac{1}{e}$, 例所因3此以C(In＞[c取a＞＞特Inb殊.a]值，即，令c＞aa=,4,b=2,c=$\frac{1}{4}$则a(=4÷,b²=2÷,
∴a'＞6(,故 A错误;

例3 已知$a＞b＞1,0＜c＜\frac{1}{2}$，则下列结论正确的是 （ ）
A. $a^{c}＜b^{c}$
B. $ab^{c}＜ba^{c}$
C. $a\log_{b}c＜b\log_{a}c$
D. $\log_{a}c＜\log_{b}c$

答案： 例所因3此以C(In＞[c取a＞＞特Inb殊.a]值，即，令c＞aa=,4,b=2,c=$\frac{1}{4}$则a(=4÷,b²=2÷,
∴a'＞6(,故 A错误; 　ab²=4×2=24,bar=2x4=2,
∴ab＞ba(，故B错误; 　log。C=1og:$\frac{1}{4}$=-1.logc=1og2$\frac{1}{4}$= 　-2，a1ogc=-8,b1ogc=-2,
　
∴alogBc＜blogc,log。c＞logbc,故C 正确,D错误.]

跟踪训练1 （1）（2023·龙岩模拟）已知$a = 0.3^{0.2},b = 0.3^{0.1},c = \log_{0.3}3$，则$a,b,c$的大小关系为 （ ）
A. $a＜b＜c$ B. $c＜b＜a$
C. $c＜a＜b$ D. $b＜c＜a$
（2）（2023·哈尔滨模拟）已知$a = \sin\frac{5\pi}{6},b = \ln\sqrt{3},c = 2^{0.2}$，则$a,b,c$的大小关系为 （ ）
A. $a＜b＜c$ B. $c＜b＜a$
C. $b＜a＜c$ D. $a＜c＜b$

答案： 跟踪训练1
(1)C　
(2)A

例4 （1）设$a = \log_{5}2,b = \log_{12}3,c = \log_{10}5$，则（ ）
A. $a＜b＜c$ B. $b＜a＜c$
C. $c＜a＜b$ D. $a＜c＜b$
（2）（2024·宿州模拟）已知$3^{m}=4,a = 2^{m}-3$，$b = 4^{m}-5$，则 （ ）
A. $a＞0＞b$ B. $b＞0＞a$
C. $a＞b＞0$ D. $b＞a＞0$

答案： 例4
(1)D　[
∵$\frac{1}{b}$=1og12=1+logs4 =1+$\frac{g4}{g3}$=1+$\frac{21g2}{lg3}$,$\frac{1}{C}$=logs40=1 +1og58=1+$\frac{lg8}{lg5}$=1+$\frac{31g2}{g5}$,
　
∴$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{C}$=$\frac{21g2}{g3}$-$\frac{3lg2}{lg5}$ 　=$\frac{2lg2×lg5-31g2xlg3}{lg3×lg5}$ 　=$\frac{lg2(2lg5-31g3)}{lg3×lg5}$ 　=$\frac{lg2(lg25-1g27)}{lg3Xlg5}$＜0,
　
∴$\frac{1}{b}$＜$\frac{1}{C}$, 　又6＞0.c＞0,
∴b＞c;
　
∵$\frac{1}{C}$=1+1ogs8＜1+logs　$\sqrt{125}$=1 +log:5=$\frac{5}{2}$:
∴c＞$\frac{2}{5}$,
　
∵$\frac{1}{a}$=1og26=1+1og23＞1+log2$\sqrt{8}$ 　=1+1og22²3=$\frac{5}{2}$:
∴a＜$\frac{2}{5}$,
　
∴a＜C.
∴a＜＜＜b.] 　
(2)B　[由3”=4,得m=1og34，
　
∵log23-log34=$\frac{lg3}{lg2}$-$\frac{g4}{lg3}$ 　=$\frac{(1g3)-lg2×1g4}{lg2×lg3}$ 　　(lg3)²-($\frac{lg2+1g4}{2}$)2 　＞　　　1g2×1g3 　=$\frac{4(lg3)²-(1g8)}{4lg2×1g3}$ 　=$\frac{(1g9)²-(1g8)}{41g2×1g3}$＞0,
　
∴log23＞log34, 　logs4-log;5=$\frac{lg4}{lg3}$-$\frac{g5}{g4}$ 　=$\frac{(1g4)²-lg3Xlg5}{lg3Xlg4}$＞ 　(1g4)²-($\frac{lg3+1g5}{2}$)2 　　　　1g3×1g4 　=$\frac{4(lg4)²-(lg15)}{4lg3Xlg4}$ 　=$\frac{(1g16)²-(1g15)²}{4lg3Xlg4}$＞0.
　
∴log34＞log:5.
　
∴b=4。-5=4¹-5＞4⁵-5=0,a=2。-3=2lo8g⁴-3＜2low2³-3=0,
∴b＞0＞a.]

例5 已知$a = 0.8^{-0.4},b = \log_{3}3,c = \log_{5}5$，则 （ ）
A. $a＜b＜c$
B. $b＜c＜a$
C. $c＜b＜a$
D. $a＜c＜b$

答案： 例5B　[由$\frac{b}{C}$=$\frac{logs3}{log85}$=$\frac{ln3Xln8}{(ln5)²}$＜$\frac{(In3+ln8)}{4(In5)²}$=$\frac{(ln\sqrt{24})}{(In5)²}$＜1,得b ＜c,又
∵(＜1＜a=0.8-△⁴,
　
∴b＜＜＜a#]

例6 已知$a = \log_{3}5,b = \log_{5}7,c = \frac{4}{3}$，则 （ ）
A. $a＞b＞c$
B. $b＞a＞c$
C. $c＞b＞a$
D. $a＞c＞b$

答案： 例6D　[因为5³=125＞(3÷)³=81,所以5＞3, 　　　　　　　　4 　所以log5＞1og3T=$\frac{4}{3}$，即a＞C.因为7³=343＜(5÷)³=625, 　所以7＜53, 　　　　　　　　41 　所以logs7＜1ogs53=$\frac{4}{3}$, 　即b＜c.所以a＞C＞b.]