《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练3 已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=2^{n}+r$，其中$r$为常数.
（1）求$r$的值；
（2）设$b_{n}=2(1+\log_{2}a_{n})$，若数列$\{ b_{n}\}$中去掉与数列$\{ a_{n}\}$相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列$\{ c_{n}\}$，求$c_{1}+c_{2}+c_{3}+\cdots +c_{100}$的值.

答案： 跟踪训练3解　
(1)因为S=2+r，所以a1=S1=2+r，a1+a2=S2=4+r，即a2=2， 　a1+a2+a3=S3=8+r，即a3=4，由(a,}是等比数列可知，a=aas,所以4=(2+r)×4，即r=-1. 　此时S”=2n-1，a=2+r=1， 　当n≥2时，a。=S。-Sw-1=(2”-1) 　-(2-¹-1)=2。-¹, 　且a1=1也适合该式， 　故a。=2。-¹是等比数列，即r=-1 满足题意 　所以r=-1. 　
(2)b=2(1+log2a开)=2(1+1og22-¹)=2n， 　因为a1=1，a2=2=b1,a3=4=b2，a4=8=b;,as=16=b8+a5=32= 　b16,a7=64=bs2,a=128=b64,as= 　256=b128. 　所以c1+c2+c3+...+C100=(b1+b2 +...+b107)-(a2+...+as)= 　$\frac{107×(2+214)}{2}$-$\frac{2(1-2)}{1-2}$=11302.

例1 (1)0 - 1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列$a_1a_2\cdots a_n\cdots$满足$a_i\in\{0,1\}(i = 1,2,\cdots)$，且存在正整数$m$，使得$a_{i + m}=a_i(i = 1,2,\cdots)$成立，则称其为0 - 1周期序列，并称满足$a_{i + m}=a_i(i = 1,2,\cdots)$的最小正整数$m$为这个序列的周期. 对于周期为$m$的0 - 1序列$a_1a_2\cdots a_n\cdots$，$C(k)=\frac{1}{m}\sum_{i = 1}^{m}a_ia_{i + k}(k = 1,2,\cdots,m - 1)$是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0 - 1序列中，满足$C(k)\leq\frac{1}{5}(k = 1,2,3,4)$的序列是 （ ）
A. 11010… B. 11011…
C. 10001… D. 11001…
(2)(2023·武汉模拟)将$1,2,\cdots,n$按照某种顺序排成一列得到数列$\{a_n\}$，对任意$1\leq i\lt j\leq n$，如果$a_i\gt a_j$，那么称数对$(a_i,a_j)$构成数列$\{a_n\}$的一个逆序对. 若$n = 4$，则恰有2个逆序对的数列$\{a_n\}$的个数为 （ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

答案：
(1)C　[周期为5的0-1序列中， C(k)=$\frac{1}{5}$台1aa+k(k=1,2,3,4). 　验证C
(1)=$\frac{1}{5}$(a:a2+a2a)+a3a) 　十a;a5+asas)=$\frac{1}{5}$(a1a2+a2a3+a3a+aAa5+asa)≤$\frac{1}{5}$ 　对于A,C
(1)=$\frac{1}{5}$(1+0+0+0+0) 　=$\frac{1}{5}$，满足C
(1)≤$\frac{1}{5}$ 　对于B.C
(1)=$\frac{1}{5}$(1+0+0+1+1)= 　$\frac{3}{5}$＞$\frac{1}{5}$，不满足C
(1)≤$\frac{1}{5}$，故排除B 对于C,C
(1)=$\frac{1}{5}$(0+0+0+0+1) 　=$\frac{1}{5}$，满足C
(1)≤$\frac{1}{5}$ 　对于D.C
(1)=$\frac{1}{5}$(1+0+0+0+1)= 　$\frac{2}{5}$＞$\frac{1}{5}$，不满足C
(1)≤$\frac{1}{5}$，故排除D.再对A,C验证C
(2)=$\frac{1}{5}$(a1a3+a2a) 　+a3as+a4as+asa7)=$\frac{1}{5}$(a1a3+a2a4+a3as+aa+a5a2)≤$\frac{1}{5}$ 　对于A.C
(2)=$\frac{1}{5}$(0+1+0+1+0)= 　$\frac{2}{5}$＞$\frac{1}{5}$，不满足C
(2)≤$\frac{1}{5}$，故排除A 对于C,C
(2)=$\frac{1}{5}$(0+0+0+0+0) 　=0，满足C
(2)≤$\frac{1}{5}$.] 　
(2)B　[若n=4，则1≤i＜j≤4, 　由1.2,3,4构成的逆序对有(4,3)，(4,2)，(4,1),(3,2),(3,1),(2,1), 　若数列{a,)的第一个数为4,则至少有3个逆序对; 　若数列1a)的第二个数为4，则恰有2 个逆序对的数列{a。为{1,4,2,3);若数列(a)的第三个数为4, 　则恰有2个逆序对的数列{a。)为{1,3,4,2}或12,1,4,3); 　若数列{an)的第四个数为4, 　则恰有2个逆序对的数列{a。}为(2,3,1,4或13,1,2,4)， 　综上，恰有2个逆序对的数列{an)的个数为5.]