《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1 (1)设$\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\}$为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是 （ ）
A. $\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}$和$\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}$
B. $4\boldsymbol{e}_{1}+2\boldsymbol{e}_{2}$和$2\boldsymbol{e}_{2}-4\boldsymbol{e}_{1}$
C. $2\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}$和$\boldsymbol{e}_{1}+\frac{1}{2}\boldsymbol{e}_{2}$
D. $\boldsymbol{e}_{1}-2\boldsymbol{e}_{2}$和$4\boldsymbol{e}_{2}+2\boldsymbol{e}_{1}$
(2)(2023·西安模拟)如图，在平行四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD},\overrightarrow{CF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}$，则$\overrightarrow{BA}$等于 （ ）

A. $\frac{6}{5}\overrightarrow{AF}-\frac{9}{5}\overrightarrow{CE}$ B. $\frac{2}{5}\overrightarrow{AF}-\frac{3}{5}\overrightarrow{CE}$
C. $\frac{6}{5}\overrightarrow{AF}+\frac{9}{5}\overrightarrow{CE}$ D. $\frac{2}{5}\overrightarrow{AF}+\frac{3}{5}\overrightarrow{CE}$

答案：
(1)C 　
(2)C　[设AB=a,AD=b, 　因为AE=$\frac{1}{3}$AD, 　所以CE=CD+DE=-a-$\frac{2}{3}$b,因为cF=$\frac{1}{3}$CD, 　所以AF=AD+DF=$\frac{2}{3}$a+b, 　设BA=mAF+nCE, 　则-a=m($\frac{2}{3}$a+b)+n(-a-$\frac{2}{3}$b)， $\frac{2}{3}$m-n=-1, 　　m一$\frac{2}{3}$n=0, 　{ 　解得m=$\frac{6}{5}$，n=$\frac{9}{5}$， 　即BA=$\frac{6}{5}$AF+$\frac{9}{5}$CE.]

跟踪训练1 (1)平面内任一向量$\boldsymbol{m}$都可以表示成$\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}(\lambda,\mu\in\mathbf{R})$的形式，下列关于向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的说法中正确的是 （ ）
A. 向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的方向相同
B. 向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$中至少有一个是零向量
C. 向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$的方向相反
D. 当且仅当$\lambda=\mu = 0$时，$\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$
(2)(2023·太原模拟)已知在矩形$ABCD$中，$E$为$AB$边中点，$AC,DE$交于点$F$，则$\overrightarrow{BF}$等于 （ ）
A. $-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$ B. $\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$
C. $\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$ D. $-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

答案：
(1)D　
(2)D

例2 (1)已知$A(-1,2),B(3,0)$，点$P$在直线$AB$上且$|\overrightarrow{AP}| = 2|\overrightarrow{PB}|$，则点$P$的坐标为 （ ）
A. $(\frac{5}{3},\frac{2}{3})$ B. $(7,2)$
C. $(\frac{5}{3},\frac{2}{3})$或$(7,-2)$ D. $(2,1)$或$(7,-2)$
(2)(2024·成都模拟)在正方形$ABCD$中，$M$是$BC$的中点.若$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AM}+\mu\overrightarrow{BD}$，则$\lambda+\mu$的值为 （ ）
A. $\frac{4}{3}$ B. $\frac{5}{3}$ C. $\frac{15}{8}$ D. 2

答案：

(1)C 　
(2)B　[在正方形 　 ABCD中，以点A 　为原点.AB，AD所 　　　　　　　　　 在直线分别为x，y 　轴建立平面直角坐 　标系，如图， 　令M(A2B,1=),2→A，C则=B(2(2,2,0)),AA，C→M(2=,2()2,D,1()O,$\frac{2)}{BD}$ 　λ因$\frac{(}{AM}$为A十2C.$\frac{)，}{D}$=$\frac{=(}{M}$+μB$\frac{2}{BD}$D.,.λ+2), 　所以{λ2λ+-22μ==22，， 　解得λ=$\frac{4}{3}$,μ=$\frac{1}{3}$,λ+=$\frac{5}{3}$， 　所以λ+μ的值为$\frac{5}{3}$.]

跟踪训练2 (1)已知$\boldsymbol{a}=(5,-2),\boldsymbol{b}=(-4,-3)$，若$\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}+3\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$，则$\boldsymbol{c}$等于 （ ）
A. $(\frac{13}{3},\frac{8}{3})$ B. $(-\frac{13}{3},-\frac{8}{3})$
C. $(\frac{13}{3},\frac{4}{3})$ D. $(-\frac{13}{3},-\frac{4}{3})$
(2)已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$在正方形网格中的位置如图所示，用基底$\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\}$表示$\boldsymbol{c}$，则 （ ）
A. $\boldsymbol{c}=2\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}$ B. $\boldsymbol{c}=-2\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}$
C. $\boldsymbol{c}=-3\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$ D. $\boldsymbol{c}=3\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$

答案：
(1)D　
(2)D

例3 (1)(2023·济宁模拟)已知平面向量$\boldsymbol{a}=(-1,2),\boldsymbol{b}=(m,-3)$，若$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}$共线，则$m=$__________.
(2)在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 2,AC = 4,AB\perp AC$，$E,F$分别为$AB,BC$中点，则$AF$与$CE$的交点坐标为________________.

答案：

(1)$\frac{3}{2}$ 　
(2)($\frac{2}{3}$,$\frac{4}{3}$) 　解析　建立如图所示 　的平面直角坐标系， 　则B(2,0),C(0.4), 　E(1.0).F(1,2), 　　　　　　　　　 设AF与CE交点为 　 D则(xA.Dγ=),(x，y),AF 　且=$\frac{1.}{AD}$AP//)$\frac{，}{AF}$，即2x-y=0,　　　　①且又$\frac{CD}{CD}$//$\frac{(x}{CE}$，,y即一y4-),4E+4=x(=10,-,4),②由①②得x=$\frac{2}{3}$,y=$\frac{4}{3}$， 　故交点D($\frac{2}{3}$,$\frac{4}{3}$).

跟踪训练3 (1)(2024·景德镇模拟)已知向量$\boldsymbol{a}=(2,3),\boldsymbol{b}=(2,\sin\alpha - 3),\boldsymbol{c}=(2,\cos\alpha)$，若$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})//\boldsymbol{c}$，则$\tan\alpha$的值为 （ ）
A. 2 B. -2 C. $\frac{1}{2}$ D. $-\frac{1}{2}$
(2)在梯形$ABCD$中，$AB// CD$，且$CD = 2AB$，若点$A(1,2),B(2,1),C(4,2)$，则点$D$的坐标为__________.

答案：
(1)A　
(2)(2,4)