《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1 如图，在四棱锥$P - ABCD$中，底面$ABCD$为梯形，$AB// CD$，$PD = AD = AB = 2$，$CD = 4$，$E$为$PC$的中点. 求证：$BE//$平面$PAD$.

答案：
例1　证明　方法一 　如图，取PD的中 　点F，连接EF.FA. 　由题意知EF为 　　　　　　　　　 △PDC的中位线，
∴EF//CD,且EF=$\frac{1}{2}$CD=2. 　又
∵AB//CD,AB=2,CD=4,
　
∴ABEF,
　
∴四边形ABEF为乎行四边形，
　
∴BE//AF. 　又AFC平面PAD,BE∝平面PAD,
∴BE//平面PAD 　方法二　　如图，延 　长DA.CB相交 　于H，连接PH， 　　　　　　　　　
∵AB//CD,AB= 　2,CD=4,
　
∴$\frac{HB}{HC}$=$\frac{AB}{CD}$=$\frac{1}{2}$, 　即B为HC的中点, 　又E为PC的中点.
∴BE//PH, 　又BE∝平面PAD,PHC:平面PAD,
∴BE//平面PAD 　方法三　　如图，取 　 CD的中点H，连 　接BH,HE, 　　　　　　　　　
∵E为PC的中 　点,
∴EH//PD, 　又EH∝平面　PAD,PDC;平面PAD,
∴EH//平面PAD, 　又由题意知ABLDH,
∴四边形AB HD为平行四边形,
∴BH//AD, 　又ADC:平面PAD,BH平面PAD,
∴BH//平面PAD, 　又BH∩EH=H,BH,EHC;平面 BHE.
∴平面BHE//平面PAD, 　又BEC:平面BHE,
∴BE//平面PAD 

跟踪训练1 如图，四边形$ABCD$为长方形，$PD = AB = 2$，$AD = 4$，点$E,F$分别为$AD,PC$的中点. 设平面$PDC\cap$平面$PBE = l$. 证明：
（1）$DF//$平面$PBE$；
（2）$DF// l$.

答案：
跟踪训练1　证明 　
(1)取PB的中点 　G,连接FG,EG, 　因为点F为PC的 　中点， 　　　　　　　　　　 所以FG//BC,FG 　=$\frac{1}{2}$BC, 　因为四边形ABCD 　为长方形，所以BC///AD，且BC=AD，所以DE//FG,DE=FG，所以四边形 DEGF为平行四边形, 　所以DF//GE，因为DF∝平面PBE,GEC平面PBE，所以DF//平面PBE. 　
(2)由
(1)知DF//平面PBE, 　P又BDEF=C7:.平所面以PDDF(mC,m平.面PDC∩平面

例2 如图所示，在四棱锥$P - ABCD$中，四边形$ABCD$是平行四边形，$M$是$PC$的中点，在$DM$上取一点$G$，过$G$和$PA$作平面交$BD$于点$H$. 求证：$PA// GH$.

答案：
例2　证明　　如图所 　示,连接AC交 　 BD于点O, 　连接OM, 　　　　　　　　　 
∵四边形ABCD 　是平行四边形，
　
∴O是AC的中点， 　又M是PC的中点，
　
∴PA//OM, 　又OMlC二平面BMD.PA平面BMD,
∴PA//平面BMD, 　又PAC:平面PAHG,平面PAHG∩平面BMD=GH,
∴PA//GH.