《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1 如图，在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，M是A₁B₁的中点，N在棱CC₁上，且CN = 2NC₁.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁所得的截面，写出作法.

答案： 解 如图所示，五边形 DQMFN 即为所求截面。 作法如下：连接 DN 并延长交 D₁C₁ 的延长线于点 E，连接 ME 交 B₁C₁ 于点 F，交 D₁A₁ 的延长线于点 H，连接 DH 交 AA₁ 于点 Q，连接 QM，FN，则五边形 DQMFN 即为所求截面。

跟踪训练1 如图，已知在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，M是棱AA₁的中点，过C，D₁，M三点作正方体的截面，作出这个截面图，写出作法.

答案： 解 如图，连接 CD₁，连接 D₁M 并延长，交 DA 的延长线于点 N，连接 CN 交 AB 于点 P，连接 MP，则四边形 CD₁MP 为过 C，D₁，M 三点的正方体的截面。

例2（多选）在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，点E是线段DD₁上的动点，若过A，B₁，E三点的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状可能为 （ ）
A. 等边三角形
B. 矩形
C. 菱形
D. 等腰梯形

答案： ABD

跟踪训练2 已知一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是 （ ）
A. 等腰三角形
B. 等腰梯形
C. 五边形
D. 正六边形

答案： D

例3（2024·朔州模拟）在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，棱长为3，E为棱BB₁上靠近B₁的三等分点，则平面AED₁截正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁的截面面积为 （ ）
A. 2√11
B. 4√11
C. 2√22
D. 4√22

答案： C [延长 AE，A₁B₁ 交于点 F，连接 D₁F 交 B₁C₁ 于点 G，如图，在正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁ 中，平面 ADD₁A₁//平面 BCC₁B₁，
∵平面 AFD₁∩平面 ADD₁A₁ = AD₁，平面 AFD₁∩平面 BCC₁B₁ = EG，
∴AD₁//GE， 又
∵AD₁ = 3√2，GE = √2，
∴四边形 AEGD₁ 是梯形，且为平面 AED₁ 截正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁ 的截面。 又
∵D₁G = AE = √13，在等腰梯形 AEGD₁ 中，过 G 作 GH⊥AD₁，
∴GH = √(D₁G² - D₁H²) = √11，
∴S = 1/2·(AD₁ + EG)·GH = 1/2×(√2 + 3√2)×√11 = 2√22。]