《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1（2023·长春模拟）已知函数$f(x)=\lg(|x|-1)+2^{x}+2^{-x}$，则不等式$f(x + 1)\lt f(2x)$的解集为 （ ）
A. $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$
B. $(-2,-1)$
C. $(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$
D. $\left(-\infty,-\dfrac{1}{3}\right)\cup(1,+\infty)$

答案： 令|x|-1＞0，解得x＞1或x＜-1,所以函数的定义域为(-∞，-1)U (1,+∞),又f(-x)=lg(|-x|-1)+2⁻ˣ+2ˣ=lg(|x|-1)+2ˣ+2⁻ˣ=f(x),所以f(x)为偶函数，当x＞1时，f(x)=lg(x-1)+2ˣ+2⁻ˣ，则y=lg(x-1)在(1,+∞)上单调递增，令g(x)=2ˣ+2⁻ˣ,x∈(1,+∞),所以g'(x)=2ˣln2-2⁻ˣln2=(2ˣ-2⁻ˣ)ln2＞0.所以g(x)=2ˣ+2⁻ˣ在(1，+∞)上单调递增，则f(x)在(1,+∞)上单调递增，从而得到f(x)在(-∞,-1)上单调递减，则不等式f(x+1)＜f(2x)等价于$\begin{cases}|x + 1|＞1\\|2x|＞1\\|x + 1|＜|2x|\end{cases}$，解得x＞1或x＜-2,所以不等式的解集为(-∞,-2)U (1，+∞).

跟踪训练1（2024·扬州模拟）已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且在$(-\infty,0]$上单调递减，$f(2)=0$，则不等式$f(x - 1)f(x)\lt0$的解集是 （ ）
A. $(-2,2)$
B. $(-\infty,-2)\cup(1,2)$
C. $(-\infty,-1)\cup(0,3)$
D. $(-2,-1)\cup(2,3)$

答案： 跟踪训练1D

例2（多选）已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(x - 1)= - f\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$，$f(0)= - 2$，且$f\left(x-\dfrac{3}{4}\right)$为奇函数，则 （ ）
A. $f(x)$为奇函数
B. $f(x)$为偶函数
C. $f(x)$是一个周期为3的周期函数
D. $f(2 025)= - 2$

答案： 例2BCD　[函数f(x)的定义域为R,且f
(0)=-2，则f(x)不可能是奇函数，故A错误;定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=-f(x+$\frac{1}{2}$)，变形可得f(x)=-f(x-$\frac{3}{2}$)，而f(x-$\frac{3}{4}$)为奇函数，则f(-x-$\frac{3}{4}$)=-f(x-$\frac{3}{4}$)，则f(-x)=-f(x-$\frac{3}{2}$)，则有f(-x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，故B正确;已知函数f(x)满足f(x-1)=-f(x+$\frac{1}{2}$)，即f(x)=-f(x+$\frac{3}{2}$)，则有f(x+3)=-f(x+$\frac{3}{2}$)=f(x)，即函数f(x)是一个周期为3的周期函数，故C正确;f(x)是偶函数且周期为3，则f
(2025)=f
(0)=-2，故D正确]

跟踪训练2 已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足条件：①$f(x)$的周期为2，②$f(x - 2)$为奇函数，③当$x\in[0,1]$时，$\dfrac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}\gt0(x_{1}\neq x_{2})$恒成立. 则$f\left(-\dfrac{15}{2}\right)$，$f(4)$，$f\left(\dfrac{11}{2}\right)$的大小关系为 （ ）
A. $f\left(\dfrac{11}{2}\right)\gt f(4)\gt f\left(-\dfrac{15}{2}\right)$
B. $f(4)\gt f\left(\dfrac{11}{2}\right)\gt f\left(-\dfrac{15}{2}\right)$
C. $f\left(-\dfrac{15}{2}\right)\gt f(4)\gt f\left(\dfrac{11}{2}\right)$
D. $f\left(-\dfrac{15}{2}\right)\gt f\left(\dfrac{11}{2}\right)\gt f(4)$

答案： 跟踪训练2C　[因为f(x-2)为奇函数,f(x)的周期为2，所以f(x)为奇函数，因为当x∈[0,1)时，$\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}＞0$，所以f(x)在[0,1)上单调递增，因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(-1，0)上单调递增，所以f(x)在(-1，1)上单调递增，$f\left(-\frac{15}{2}\right)=f\left(-\frac{15}{2}+2\times4\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$，$f(4)=f(4-2\times2)=f(0)$，$f\left(\frac{11}{2}\right)=f\left(\frac{11}{2}-2\times3\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)$，所以$f\left(\frac{1}{2}\right)＞f(0)＞f\left(-\frac{1}{2}\right)$，即$f\left(-\frac{15}{2}\right)＞f(4)＞f\left(\frac{11}{2}\right)$.]

例3（2023·长沙模拟）已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，则下列函数的图象一定关于点$(-1,0)$成中心对称的是 （ ）
A. $y=(x - 1)f(x - 1)$
B. $y=(x + 1)f(x + 1)$
C. $y=xf(x)+1$
D. $y=xf(x)-1$

答案： 例3B　[构造函数g(x)=xf(x)，该函数的定义域为R，所以g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x)，函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对称中心为坐标原点。对于A选项，函数y=(x-1)f(x-1)的图象由函数g(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故函数y=(x-1)f(x-1)图象的对称中心为(1,0)；对于B选项，函数y=(x+1)f(x+1)的图象由函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到，故函数y=(x+1)f(x+1)图象的对称中心为(-1,0)；对于C选项，函数y=xf(x)+1的图象由函数g(x)的图象向上平移1个单位长度得到，故函数y=xf(x)+1图象的对称中心为(0,1)；对于D选项，函数y=xf(x)-1的图象由函数g(x)的图象向下平移1个单位长度得到，故函数y=xf(x)-1图象的对称中心为(0,-1).]

跟踪训练3 若定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$满足$f(2 - x)=f(x)$，在区间$(0,1)$上，有$(x_{1}-x_{2})\cdot[f(x_{1})-f(x_{2})]\gt0$，则下列说法正确的是 （ ）
A. 函数$f(x)$的图象关于点$(1,0)$中心对称
B. 函数$f(x)$的图象关于直线$x = 2$轴对称
C. 在区间$(2,3)$上，$f(x)$单调递减
D. $f\left(-\dfrac{7}{2}\right)\gt f\left(\dfrac{2}{3}\right)$

答案： 跟踪训练3C　[f(4-x)=f(2-(x-2))=f(x-2)=-f(2-x)=-f(x)，即f(4-x)+f(x)=0，故f(x)的图象关于点(2,0)中心对称，
∵f(2-x)=f(x)，则f(x)的图象关于直线x=1轴对称，故A,B错误；根据题意可得，f(x)在(0,1)上单调递增，
∵f(x)的图象关于直线x=1轴对称，关于点(2,0)中心对称，则f(x)在(2,3)上单调递减，故C正确；又
∵f(x)=f(2-x)=-f(x-2)，则f(x+2)=-f(x)，
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，可知f(x)的周期为4，则$f\left(-\frac{7}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)\lt f\left(\frac{2}{3}\right)$，故D错误.]

例4（多选）（2024·昆明模拟）已知定义域为$\mathbf{R}$的函数$f(x)$在$(-1,0]$上单调递增，$f(1 + x)=f(1 - x)$，且图象关于点$(2,0)$对称，则下列结论正确的是 （ ）
A. $f(0)=f(2)$
B. $f(x)$的最小正周期$T = 2$
C. $f(x)$在$(1,2]$上单调递减
D. $f(2 021)\gt f(2 022)\gt f(2 023)$

答案： 例4AC　[由f(1+x)=f(1-x)知，f(x)图象的对称轴为直线x=1，所以f
(0)=f
(2)，故A正确；由f(1+x)=f(1-x)知，f(2+x)=f(-x)，又图象关于点(2,0)对称，即f(2+x)=-f(2-x)，故f(4+x)=-f(-x)，所以-f(2+x)=f(4+x)，即-f(x)=f(2+x)，所以f(x)=f(x+4)，f(x)的最小正周期为4，故B错误；因为f(x)在(-1,0]上单调递增，且T=4，所以f(x)在(3,4]上单调递增，又图象关于点(2,0)对称，所以f(x)在[0,1)上单调递增，因为f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)在(1,2]上单调递减，故C正确；根据f(x)的周期为4，可得f
(2021)=f
(1)，f
(2022)=f
(2)，f
(2023)=f(-1)，因为f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f
(2)=f
(0)，由C选项的分析可知，函数f(x)在[0,1)上单调递增，在(-1,0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x =±1，若f(-1)=f
(1)=0，则f
(2021)＞f
(2022)＞f
(2023)不成立，故D错误.]

跟踪训练4（多选）（2023·盐城模拟）已知非常数函数$f(x)$为$\mathbf{R}$上的奇函数，$g(x)=f(x + 1)$为偶函数，下列说法正确的有 （ ）
A. $f(x)$的图象关于直线$x = - 1$对称
B. $g(2 023)=0$
C. $g(x)$的最小正周期为4
D. 对任意$x\in\mathbf{R}$都有$f(2 - x)=f(x)$

答案： 跟踪训练4ABD