《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

跟踪训练3（1）已知双曲线方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$，则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是 （ ）
A.6x + y - 11 = 0 B.6x - y - 11 = 0
C.x - 6y - 11 = 0 D.x + 6y + 11 = 0
（2）已知抛物线C:y² = 2px(p ＞ 0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x - y - 2 = 0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为 （ ）
A.(1,-1) B.(2,0)
C.($\frac{1}{2}$,-$\frac{3}{2}$) D.(1,1)

答案：
(1)B　[设直线$l$交双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$于点$M(x₁,y₁)$，$N(x₂,y₂)$，则$\begin{cases}x₁ + x₂ = 4\\y₁ + y₂ = 2\end{cases}$， 由已知得$\begin{cases}x₁^{2}-\frac{y₁^{2}}{3}=1\\x₂^{2}-\frac{y₂^{2}}{3}=1\end{cases}$， 两式作差得$x₁^{2}-x₂^{2}=\frac{y₁^{2}-y₂^{2}}{3}$， 所以$\frac{y₁ - y₂}{x₁ - x₂}=\frac{3(x₁ + x₂)}{y₁ + y₂}=6$， 即直线$l$的斜率为6，故直线$l$的方程为$y - 1 = 6(x - 2)$，即$6x - y - 11 = 0$。经检验满足题意] （2）A　[
∵焦点到准线的距离为$p$，则$p = 1$，
∴$y^{2}=2x$。 设$P(x₁,y₁)$，$Q(x₂,y₂)$， 则$(y₁ - y₂)(y₁ + y₂)=2(x₁ - x₂)$，
∴$k_{PQ}=\frac{2}{y₁ + y₂}$， 又
∵$P$，$Q$关于直线$l$对称，
∴$k_{PQ}=-1$，即$y₁ + y₂=-2$，
∴$PQ$中点的纵坐标为$\frac{y₁ + y₂}{2}=-1$，又
∵$PQ$的中点在直线$l$上，
∴$PQ$中点的横坐标为$x = (-1)+2 = 1$。
∴线段$PQ$的中点坐标为$(1,-1)$。]

命题点1 焦点三角形
例1（2023·临川模拟）已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a＞b＞0$），其左、右焦点分别为$F_1$，$F_2$，其离心率为$e = \frac{1}{2}$，点$P$为该椭圆上一点，且满足$\angle F_1PF_2=\frac{\pi}{3}$，已知$\triangle F_1PF_2$的内切圆的面积为$3\pi$，则该椭圆的长轴长为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 12

答案： 例1D　[由e=$\frac{1}{2}$，得$\frac{C}{a}$=$\frac{1}{2}$, 　即a=2c.　　　　　　　　　　　　①设△F1PF2的内切圆的半径为r，因为△FPF2的内切圆的面积为3π:所以πr²=3π，解得r=$\sqrt{3}$(舍负)，在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知S△F1PF2= 　b²tan$\frac{FPF}{2}$=$\frac{1}{2}$r(2a+2c), 　即$\frac{\sqrt{3}}{3}$b²=$\sqrt{3}$(a+c),　　　　　　　②又a²=b²+c²,　　　　　　　　　③联立①②③得c=3，a=6,b=3$\sqrt{3}$,所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12.]

跟踪训练1 如图，$F_1$，$F_2$是椭圆$C_1:\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$与双曲线$C_2$的公共焦点，$A$，$B$分别是$C_1$，$C_2$在第二、四象限的公共点. 若四边形$AF_1BF_2$为矩形，则$C_2$的离心率是（ ）

A. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. $\frac{3}{2}$
D. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

答案： 跟踪2训练1D　[设双曲线C2的方程为$\frac{x}{a}$-$\frac{y²}{b²}$=1(a2＞0,b2＞0), 　则有a2+b=c=ǐ=4-1=3. 　设椭圆C中，a=2,b1=1, 　又四边形AF！BF2为矩形， 　所以△AFF2的面积为 　bǐtan45°=$\frac{b}{tan45°}$, 　即b2=bǐ=1. 　所以a2=2-b²=3-1=2. 　故双曲线C2的离心率 　e=$\frac{C2}{a2}$=　$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$.]

命题点2 周角定理
例2 已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左、右两个顶点分别为$A$，$B$，点$M_1$，$M_2$，$\cdots$，$M_5$是$AB$的六等分点，分别过这五点作斜率为$k$（$k\neq0$）的一组平行线，交椭圆$C$于$P_1$，$P_2$，$\cdots$，$P_{10}$，则直线$AP_1$，$AP_2$，$\cdots$，$AP_{10}$，这10条直线的斜率乘积为（ ）
A. $-\frac{1}{16}$
B. $-\frac{1}{32}$
C. $\frac{1}{64}$
D. $\frac{1}{1024}$

答案：
例2B　[由桶圆 　的性质可得 　kAp.kBr= 　kAP2.kBP2= 　　　　　　　　 一$\frac{b²}{a²}$=一$\frac{1}{2}$ 　由圆的对称性可得 　kBP1=kA。,kβP1。=kAr1,kAP.kAPi。=-$\frac{1}{2}$ 　同理可得kAP2.kAP。=kAP3.kAP== 　kAP4.kAR7=kAP5.kAP=-$\frac{1}{2}$
　
∴直直线线的斜AP率1乘,A积P为2.(.一..，$\frac{1}{2}$AP)51。=这一$\frac{1}{32}$10.条]