《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例2 如图，在△ABC中，点P满足$2\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{PC}$，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若$\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=y\overrightarrow{AC}(x＞0,y＞0)$，则$2x + y$的最小值为（ ）

A.3
B.$3\sqrt{2}$
C.1
D.$\frac{1}{3}$

答案： A

命题点2 与数量积有关的最值（范围）问题
例3（2024·开封模拟）已知等边△ABC的边长为$\sqrt{3}$，P为△ABC所在平面内的动点，且$|\overrightarrow{PA}| = 1$，则$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}$的取值范围是（ ）
A.$[-\frac{3}{2},\frac{9}{2}]$
B.$[-\frac{1}{2},\frac{11}{2}]$
C.[1,4]
D.[1,7]

答案：
例3B　[方法- 　如图，建立平面直 　角坐标系， 　设P(cos0,sinθ), 　　　　　　　　 0∈[0,2π],
　
∴B($\sqrt{3}$,0), 　c($\frac{3}{2}$,$\frac{3}{2}$),
　
∴PB=($\sqrt{3}$-cos0，-sin0),PC= 　($\frac{\sqrt{3}}{2}$一COSθ，$\frac{3}{2}$-sinθ),
　
∴→PB.→PC=($\sqrt{3}$-cos0).($\frac{\sqrt{3}}{2}$一cose)-sino($\frac{3}{2}$-sinθ) 　=$\frac{5}{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$COSθ一$\frac{3}{2}$sinθ 　=$\frac{5}{2}$-3sin(0+/|),
　
∵θ∈[0,2π],
　
∴sin(0+/)∈[-1,1],
　
∴PBp∈[-$\frac{1}{2}$,$\frac{11}{2}$: 　方法二　如图，建立 　平面直角坐标系，则 　 A(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,0), 　　　　　　　　 B$\frac{\sqrt{3}}{2}$,0): 　c(o.$\frac{3}{2}$), 　设P(x，y),则点P在以A为圆心，1 为半径的圆上， 　即点P的轨迹方程为 　(x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$)²+y²=1. 　而PB=($\frac{3}{2}$-x,-y). 　PC-(-x,$\frac{3}{2}$-y), 　故PB.PC=x²-$\frac{3}{2}$x+y²-$\frac{3}{2}$y= 　(x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$)²+(y一$\frac{3}{4}$)²-$\frac{3}{4}$， 　综上，只需求出定点($\frac{\sqrt{3}}{4}$,$\frac{3}{4}$)与圆(x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$)2+y²=1上点的距离的平方的范围即可， 　而圆心A与定点($\frac{\sqrt{3}}{4}$,$\frac{3}{4}$的距离d =　$\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{4}十\frac{\sqrt{3}}{2})+(\frac{3}{4})}$=$\frac{3}{2}$, 　故定点($\frac{\sqrt{3}}{4}$,$\frac{3}{4}$与圆上点的距离的范围为{$\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$,
　
∴PBP∈[-$\frac{1}{2}$,$\frac{11}{2}$].1

例4 已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是单位向量，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，且向量$\boldsymbol{c}$满足$|\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = 1$，则$|\boldsymbol{c}|$的取值范围是（ ）
A.$[\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1]$
B.$[\sqrt{2}-1,\sqrt{2}]$
C.$[\sqrt{2},\sqrt{2}+1]$
D.$[2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}]$

答案： 例4A　[a，b是单位向量，a.b=0，设a=(1.0),b=(0,1),c=(x,y)，|c-a-b|=|(x-1，y-1)|= 　　$\sqrt{(x-1)²+(y-1)²}$=1,
∴(x-1)²+(y-1)²=1.
∴Ic　　示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故　$\sqrt{1²+1²}$-1≤|c|≤　$\sqrt{1²+1²}$ 　+1,.√2-1≤|c|≤√2+1.]

跟踪训练2（1）已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$，$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$，$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$且$(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})\perp(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b})$，则$|\boldsymbol{c}|$的最大值为________.

答案： 跟踪训练2
(1)2

（2）（多选）在直角△ABC中，斜边AB = 2，P为△ABC所在平面内一点，$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\sin^{2}\theta\cdot\overrightarrow{AB}+\cos^{2}\theta\cdot\overrightarrow{AC}$（其中$\theta\in\mathbf{R}$），则（ ）
A.$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$的取值范围是(0,4)
B.点P经过△ABC的外心
C.点P所在轨迹的长度为2
D.$\overrightarrow{PC}\cdot(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})$的取值范围是$[-\frac{1}{2},0]$

答案： 跟踪训练2
(2)ABD