《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

7. 已知正方形$ABCD$的边长为$1$，点$E$是$AB$边上的动点，则$\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{DA}$的值为________.

答案： 7.1

8. 如图，在平面四边形$ABCD$中，$O$为$BD$的中点，且$OA = 3$，$OC = 5$. 若$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=-7$，则$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{DC}=$________.

答案： 8.9 　解析　由AB.AD=AO-$\frac{1}{4}$BD =9-$\frac{1}{4}$BD=-7,得|BD|=8, 　则C.DC=CB.CD=C²-$\frac{1}{4}$→BD²=25-$\frac{1}{4}$×64=9.

9. 在平行四边形$ABCD$中，已知$AB = 8,AD = 5$，$\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=2$，则$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$的值是________.

答案：
9.22 　解析　　取AB的中 　点则-→A$\frac{E.}{PA}$E²=.2→PB=→PE² 　　　　　　　　　 所以PE²三 　所因为以$\frac{PE}{CP}$|品PD=|=3P$\frac{18，}{PD}$2,D,|→AI→CED|=|=4,8, 　$\frac{△}{AF}$延长AEAD的,E中P位交于线点，所F，以故ADPP²=为$\frac{AF²+AE²-2PE²}{2}$=40， 　所以AB.AD=2AE.$\frac{1}{2}$AF 　=AE.AF=AP2-PE²=22.

10. 在半径为$1$的扇形$AOB$中，$\angle AOB = 60^{\circ}$，$C$为弧$AB$上的动点，$AB$与$OC$交于点$P$，则$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{BP}$的最小值为________.

答案：
10.一$\frac{1}{16}$ 　解析　　如图所示, 　取OB的中点D，过 　点D作DE⊥AB 　　　　　　　　 于点E.连接 　则OP.BP=$\frac{D}{PO}$. 　PB=|PD|²-LOD2 　=|品PD|²-$\frac{1}{4}$， 　易知|丽|∈[DEI,|AD= 　$\frac{3}{4}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$],.→OP.→BP=→PD²-$\frac{1}{4}$∈ [-$\frac{1}{16}$,$\frac{1}{2}${， 　故所求最小值为一$\frac{1}{16}$:

例1 如图,在平行四边形$ABCD$中,$AC$,$BD$相交于点$O$,$E$为线段$AO$的中点. 若$\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BD}$($\lambda,\mu\in\mathbf{R}$),则$\lambda + \mu$等于 （ ）
A. 1 B. $\frac{3}{4}$ C. $\frac{2}{3}$ D. $\frac{1}{2}$

答案：
例1B　[方法一(常规方法)
　
∵E为线段AO的中点，
　
∴BE=$\frac{1}{2}$(BA+BO) 　=$\frac{1}{2}$(BA　$\frac{1}{2}$BD)=$\frac{1}{2}$BA+$\frac{1}{4}$丽D =λBA+u$\frac{2}{BD}$,
　
∴λ=$\frac{1}{2}$u=$\frac{1}{4}$，则λ+=$\frac{3}{4}$ 　方法二(等和线法) 　如图，AD为 　值是1的等和 　　　　　　　 线，过点E作 　 AD的平行线， 　设λ+μ=k， 则k=$\frac{BE}{BF}$由图易知，$\frac{BE}{BF}$=$\frac{3}{4}$, 　即λ+μ=k=$\frac{3}{4}$.] 　

跟踪训练1 设$D$,$E$分别是$\triangle ABC$的边$AB$,$BC$上的点,$AD = \frac{1}{2}AB$,$BE = \frac{2}{3}BC$. 若$\overrightarrow{DE}=\lambda_1\overrightarrow{AB}+\lambda_2\overrightarrow{AC}$($\lambda_1,\lambda_2$为实数),则$\lambda_1+\lambda_2 =$______.

答案：
跟踪训练1$\frac{1}{2}$ 　解析　方法一　(常规方法) 　由题意作图如图 　　　　　　　　　　 $\frac{1}{2}$ 　　$\frac{2}{3}$　　　$\frac{1}{2}$　　　$\frac{2}{3}$(AC-AB)= 　一$\frac{1}{6}$AB+$\frac{2}{3}$AC=λAB+λAC.
∴入=一$\frac{1}{6}$,λ2=$\frac{2}{3}$ 　故λ+λ2=$\frac{1}{2}$ 　方法二(等和线法) 　如图，过点A作AF 　　　　　　　　　 =DE，连接DF. 　设AF与BC的延 　长线交于点H，易知AF=FH，
　
∴AF=$\frac{1}{2}$AH，因此λ1+λ2=$\frac{1}{2}$