《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1（1）（2023·茂名模拟）已知菱形ABCD的各边长为2，∠B = 60°.将△ABC沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥P - ACD，如图所示，当三棱锥P - ACD的表面积最大时，三棱锥P - ACD的外接球体积为（ ）
A. $\frac{5\sqrt{2}\pi}{3}$ B. $\frac{4\sqrt{3}\pi}{3}$ C. $2\sqrt{3}\pi$ D. $\frac{8\sqrt{2}\pi}{3}$
（2）（2023·韶关模拟）已知三棱柱ABC - A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若AA₁ = AC = 2，AB⊥BC，则此球的体积为______________.

答案： 例1
(1)D　　[由题意可得,△ACD,△ACP均为边长为2的等边三角形,△PAD,△PCD　为全等的等腰三角形， 　则三棱锥P-ACD的表面积 　S=2S△ACD+2S△PCD=2×$\frac{1}{2}$×2×2 ×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2×$\frac{1}{2}$×2×2sin∠PCD=2$\sqrt{3}$ 　+4sin∠PCD≤2$\sqrt{3}$+4， 　当且仅当sin∠PCD=1，即PC⊥CD 时，三棱锥P-ACD的表面积取最大值，此时△PAD,△PCD为直角三角形,PD=　$\sqrt{PC²+CD²}$=2$\sqrt{2}$, 　取PD的中点O,连接OA.OC,由直角三角形的性质可得OA=OC=OD =OP=$\sqrt{2}$，即三棱锥P-ACD的外接球的球心为0,半径R=$\sqrt{2}$, 　故外接球体积V=$\frac{4}{3}$π×√√2)=⁸823π. 　
(2)$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π 　解析　设△ABC的外接圆的四心为 D.半径为r,球的半径为R，球心为0，底面△ABC为直角三角形，故其外接圆圆心D在斜边中点处，则r=1, 　又OD=$\frac{1}{2}$AA=1，在R;△OCD中,R==√2, 　V球=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$元 　

跟踪训练1 某建筑的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个实心模型，已知模型内层底面直径为12 cm，外层底面直径为16 cm，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20 cm的球面上，则此模型的体积为________ cm³.

答案： 跟踪训练1 912π 

例2 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体ABCD - A₁B₁C₁D₁的上底面A₁B₁C₁D₁绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体ABCD - EFGH.已知AB = AD = 2，AE = $\sqrt{7}$，则十面体ABCD - EFGH外接球的表面积是______________.

答案： 例2(11+2$\sqrt{2}$)π 　解析　由题中数据可知 　 A:E²=1+($\sqrt{2}$-1)²=4-2√2, 　则AA1=　$\sqrt{7-(4-2\sqrt{2})}$=√2+1,因为十面体ABCD-EFGH是由长方体ABCD-ABlC,D1的上底面绕着其中心旋转45°得到， 　所以长方体ABCD-ABClD1的外接球就是十面体ABCD-EFGH 的外接球, 　设十面体ABCD-EFGH外接球的半径为R,(2R)²=2²+2²+(√2+1)², 　则R²=$\frac{11+2\sqrt{2}}{4}$, 　故十面体ABCD-EFGH外接球的表面积是4πR²=(11+2√2)π. 　

跟踪训练2 在四面体S - ABC中，SA⊥平面ABC，在△ABC中，内角B，A，C成等差数列，SA = AC = 2，AB = 1，则该四面体的外接球的表面积为______________.

答案： 跟踪训练2 8π 

例3（1）（2022·新高考全国Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3$\sqrt{3}$和4$\sqrt{3}$，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π
（2）在平面四边形ABCD中，AB = AD = CD = 1，BD = $\sqrt{2}$，BD⊥CD.将其沿对角线BD折成四面体A'BCD，使平面A'BD⊥平面BCD.若四面体A'BCD的顶点在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A. $\frac{\sqrt{3}\pi}{2}$ B. 3π C. $\frac{\sqrt{2}\pi}{3}$ D. 2π

答案：
例3
(1)A 　
(2)A　[如图，设BD,BC的中点分别为E,F. 　 因为点F为底面Rt△BCD的外心,则三棱锥A'-BCD的外接球球心必在过点F且与平面BCD垂直的直线1上又点E为底面Rt△A'BD的外心，则外接球球心必在过点E且与平面A'BD垂直的直线12上.所以球心为1与12的交点.又FE//CD,CD BD,平面A,BD⊥平面BCD，平面 A'BD∩平面BCD=BD.所以FE⊥平面A'BD.所以球心为点F.又A'B =A'D=1，所以BD=$\sqrt{2}$，又CD=1,所以BC=$\sqrt{3}$,球半径R=$\frac{BC}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 　故V=$\frac{4}{3}$π($\frac{3}{2}$)3=$\frac{\sqrt{3}π}{2}$.7 　

跟踪训练3（1）已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上，上、下底面正方形的外接圆半径分别为1和2，圆台的两底面在球心的同侧，则此正四棱台的体积为______________.
（2）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为$\frac{32\pi}{3}$，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A. 3π B. 4π C. 9π D. 12π

答案： 跟踪训练3
(1)$\frac{28\sqrt{2}-14\sqrt{5}}{3}$ 　
(2)B