《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例 4 已知$P$是直线$3x + 4y + 8 = 0$上的动点，$PA$，$PB$是圆$C:x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$的两条切线，$A$，$B$是切点，则四边形$PACB$面积的最小值为________.

答案：
2$\sqrt{2}$ 解析　圆C:x²+y²-2x-2y+1= 0.即圆C:(x-1)²+((y-1)²=1,所以圆心C(1.1),半径r=1, 如图，连接PC， 因为S四边形PACH= 2S△PAC=2×$\frac{1}{2}$× 　　　　　　　　　 IAP|.IAC|= 　 AP|=$\sqrt{FC平²-1}$ 所以求S四边形PACB 的最小值就是求|PC的最小值，而|PCI的最小值就是圆心到直线3x+4y+8=0的距离d,即d= $\frac{3+4+81}{\sqrt{3²+4²}}$=3，即四边形PACB面积的最小值为　$\sqrt{9-1}$=2$\sqrt{2}$

**跟踪训练 1** (1)若直线$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$相交，则 （ ）
A. $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} ＜ 1$ B. $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} ＞ 1$ C. $a^2 + b^2 ＜ 1$ D. $a^2 + b^2 ＞ 1$
(2)直线$l:2tx - y - 2t + 1 = 0(t\in\mathbf{R})$与圆$C:x^2 + y^2 = 4$相交于$A$，$B$两点，则$|AB|$的最小值为 （ ）
A. $\sqrt{2}$ B. 2 C. $2\sqrt{2}$ D. 4

答案：
(1)B　
(2)C

例 5 (1)(2024·齐齐哈尔模拟)已知圆$M:x^2 + y^2 - 4y = 0$与圆$N:x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$，则圆$M$与圆$N$的位置关系为 （ ）
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离
(2)(2023·重庆模拟)圆$A:x^2 + y^2 = 4$与圆$B:x^2 + y^2 - 4x + 4y - 12 = 0$的公共弦所在直线的方程为 （ ）
A. $x - y + 2 = 0$ B. $x - y - 2 = 0$ C. $x + y + 2 = 0$ D. $x + y - 2 = 0$

答案：
(1)B　
(2)A

**跟踪训练 2** (1)若圆$x^2 + y^2 + 4x - 4y = 0$和圆$x^2 + y^2 + 2x - 8 = 0$相交于$M$，$N$两点，则线段$MN$的长度为 （ ）
A. 4 B. $\frac{3\sqrt{5}}{5}$ C. $\frac{12\sqrt{5}}{5}$ D. $\frac{6\sqrt{5}}{5}$
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)写出与圆$x^2 + y^2 = 1$和$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$都相切的一条直线的方程______________________________.

答案：
(1)C
(2)x=-1或7x-24y-25=0或3x +4y-5=0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)