《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

例1（2023·辽宁实验中学模拟）已知函数$f(x)=e^{x}\cos x$.
(1)求$f(x)$在区间$(0,\frac{\pi}{2})$内的极大值；
(2)令函数$h(x)=\frac{axf(x)}{e^{x}} - 1$，当$a＞\frac{4\sqrt{2}}{\pi}$时，证明：$h(x)$在区间$(0,\frac{\pi}{2})$内有且仅有两个零点.

答案： 当x∈(0,$\frac{π}{4}$)时，f'(x)＞0, 当x∈($\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$)时,f'(x)＜0, 则f(x)在区间(0,$\frac{π}{4}$)上单调递增，在区间($\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$)上单调递减, 所以f(x)在区间(0,$\frac{π}{2}$)内的极大值为$f(\frac{π}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{\frac{π}{4}}$.
(2)证明　$h(x)=\frac{axf(x)}{e^{x}} - 1=ax\cos x - 1$， 令$\varphi(x)=ax\cos x - 1$，则$\varphi'(x)=a(\cos x - x\sin x)$， 设$m(x)=\cos x - x\sin x$，则$m'(x)=-\sin x - (\sin x + x\cos x)=-2\sin x - x\cos x＜0 (0＜x＜\frac{π}{2})$， 所以$m(x)$在区间$(0,\frac{π}{2})$上单调递减， 又$m(0)=1＞0$，$m(\frac{π}{2})=-\frac{π}{2}＜0$，故存在$x_{0}∈(0,\frac{π}{2})$，使得$m(x_{0})=0$， 当$x∈(0,x_{0})$时，$m(x)＞0$，即$\varphi'(x)＞0$，$\varphi(x)$在区间$(0,x_{0})$上单调递增； 当$x∈(x_{0},\frac{π}{2})$时，$m(x)＜0$，即$\varphi'(x)＜0$，$\varphi(x)$在区间$(x_{0},\frac{π}{2})$上单调递减. 因为$\varphi(0)=-1＜0$，$\varphi(\frac{π}{2})=-1＜0$，又$a＞\frac{4\sqrt{2}}{π}$，所以$\varphi(\frac{π}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}a\times\frac{π}{4}-1＞\frac{\sqrt{2}π}{8}\times\frac{4\sqrt{2}}{π}-1=0$， 所以$\varphi(x)$在区间$(0,\frac{π}{4})$，$(\frac{π}{4},\frac{π}{2})$内各有一个零点， 即$h(x)$在区间$(0,\frac{π}{2})$内有且仅有两个零点.

跟踪训练1（2023·芜湖模拟）已知函数$f(x)=ax+(a - 1)\ln x+\frac{1}{x}-2,a\in\mathbf{R}$.
(1)讨论$f(x)$的单调性；
(2)若$f(x)$只有一个零点，求$a$的取值范围.

答案： 解　
(1)函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，$f'(x)=a+\frac{a - 1}{x}-\frac{1}{x^{2}}=\frac{(ax - 1)(x + 1)}{x^{2}}$， 若$a\leq0$，则$f'(x)＜0$，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减； 若$a＞0$，则当$x∈(0,\frac{1}{a})$时，$f'(x)＜0$，$f(x)$单调递减，当$x∈(\frac{1}{a},+\infty)$时，$f'(x)＞0$，$f(x)$单调递增. 综上，当$a\leq0$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减；当$a＞0$时，$f(x)$在$(0,\frac{1}{a})$上单调递减，在$(\frac{1}{a},+\infty)$上单调递增.
(2)若$a\leq0$，$f(\frac{1}{e})=\frac{a}{e}+1 - a + e - 2=(\frac{1}{e}-1)a + e - 1＞0$，$f(1)=a - 1＜0$. 结合函数的单调性可知，$f(x)$有唯一零点. 若$a＞0$，因为函数$f(x)$在$(0,\frac{1}{a})$上单调递减，在$(\frac{1}{a},+\infty)$上单调递增，所以要使得函数$f(x)$有唯一零点，只需$f(x)_{min}=f(\frac{1}{a})=1 - (a - 1)\ln a + a - 2=(a - 1)(1 - \ln a)=0$，解得$a = 1$或$a = e$. 综上，$a\leq0$或$a = 1$或$a = e$.