《2024年步步高大一轮复习讲义高中数学人教A版》

1.（2023·荆门模拟）设函数$f(x)=e^x + b\sin x$，$x\in(-\pi,+\infty)$. 若函数$f(x)$在$(0,f(0))$处的切线的斜率为2.
(1)求实数$b$的值；
(2)求证：$f(x)$存在唯一的极小值点$x_0$，且$f(x_0)＞-1$.

答案： 能力提升 　1.
(1)解
∵∮(x)=er+bsinx，
　
∴∮'(x)=ex+bcosx, 　　由导数的几何意义知，∮(x)在(0,f
(0))处的切线的斜率k=f
(0)=e。+bcos0=1+b, 　　由已知k=1+b=2， 　　解得b=1. 　　
(2)证明　由
(1)得f(x)=e+sinx,x∈(-π,+0),
　
∴f'(x)=e+cosx， 　　令g(x)=e²+cosx,x∈(一π，+∞),则g'(x)=ex-sinx， 　　当x∈(一π,0]时,e²＞0,sinx≤0,g'(x)=e-sinx＞0, 　　当x∈(0,+∞)时，e＞1,sinx≤1,g'(x)=ex-sinx＞0,
　
∴当x∈(一π，+∞)时，g'(x)＞0,g(x)在区间(-π，+∞)上单调递增，{　　又1＜
∵0g,(-π)=e-+cos(-π)=$\frac{1}{e}$一g(-$\frac{π}{2}$)=e-+cos(-$\frac{π}{2}$)=e-/＞0.
　
∴存在唯一x。∈(一π,-/|), 　　使g(xn)=ex°+cosx。=0， 　　又
∵g(x)在区间(-π，+∞)上单调递增，
　
∴x=x。是g(x)在(一π,+∞)上的唯一零点，
　
∴f(x)=c²+cosx在区间(一π，+∞)上单调递增，且f(x。)=eI°+csxo=0，当x∈(一π，x。)时，f！(x)＜0，f(x) 　　在区间(一π，x。)上单调递减; 　　当x∈(x。，+∞)时，f,(x)＞o,f(x) 　　在区间(x。,+∞)上单调递增，
　
∴f(x)存在唯一极小值点工。. 　　又
∵ex°+cosx。=0，
　
∴e=-cosxo，
　
∴f(x。)=e+sinxo=sinxo-cosx。=$\sqrt{2}$sin(x。-$\frac{π}{4}$), 　　又
∵x。∈(一π,-/|):
∴x。-∈(一,一).
　
∴sin(x1=/|)∈(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$),
　
∴∮(x。)=$\sqrt{/2}$sin(x口一$\frac{π}{4}$)∈(-1,1),
∴f(x))＞-1.

2.（2023·绵阳模拟）已知函数$f(x)=ax - \ln x$，$a\in\mathbf{R}$.
(1)若$a = \frac{1}{e}$，求函数$f(x)$的最小值及取得最小值时的$x$的值；
(2)若函数$f(x)\leqslant xe^x-(a + 1)\ln x$对$x\in(0,+\infty)$恒成立，求实数$a$的取值范围.

答案： 2.解　
(1)当a=$\frac{1}{e}$时， 　f(x)=$\frac{1}{e}$x-1nx,定义域为(0，+0)，所以f,(x)=$\frac{1}{e}$二$\frac{1}{x}$=$\frac{x-e}{ex}$, 　　f'(x)=0得x=e， 　　以当x∈(0.e)时，f,(x)＜0,f(x) 　　调递减; 　　x∈(e,+∞)时,∮(x)＞0,∮(x) 　　调递增， 　　以函数∮(x)在x=e处取得最小.f(x)mm=f(e)=0. 　
(2)因为函数f(x)≤xe²-(a+1)1nx 对x∈(0,+∞)恒成立， 　所以xeI-a(x+lnx)≥0对x∈(0,十∞)恒成立， 　令h(x)=xe²-a(x+1nx)，x＞0，则h'(x)=(x+1)c²-a(1+$\frac{1}{x}$)= 　(x+1)(er-$\frac{a}{x}$), 　①当a=0时，h'(x)=(x+1)e²＞0,h(x)在(0,+∞)上单调递增， 　所以由h(x)=工e可得h(x)＞0, 　即满足xex-a(x+1nx)≥0对x∈(0,+∞)恒成立; 　②当a＜0时，则-a＞0,h,(x)＞0,h(x)在(0，+∞)上单调递增， 　因为当x趋近于0中时，h(x)趋近于负无穷，不成立，故不满足题意; 　③当a＞0时，令h'(x)=0得a=xe²，令k(x)=e-,k²(x)=c²+$\frac{a}{x²}$＞0恒成立， 　故k(x)在(0,+∞)上单调递增， 　因为当x趋近于正无穷时，k(x)趋近于正无穷，当x趁近于0时，k(x)趁近于负无穷， 　所以彐x。∈(0,+∞),使得h'(x。)= 　0,a=x。er°， 　所以当x∈(0,x。)时，h'(x)＜0,h(x)单调递减， 　当x∈(x。,+∞)时，h'(x)＞0，h(x) 　单调递增， 　所以只需h(x)mm=h(x)) 　=xoer°-a(x。+lnx。) 　=x。ex°(1-x。-1nx)≥0即可; 　所以1-x口-1nxo≥0,1≥x。+1nxo,因为x。=ae0， 　所以Inx=1na-xo， 　所以Inx+x=1na≤1=1ne， 　解得0＜a≤e，所以a∈(0,e], 　综上所述，实数a的取值范围为[0,e]|